Matematické Fórum

martanko

ako by ste bez vypoctu dokazali povedat co je vcsie:

$\pi^e$ alebo $e^{\pi}$

lukaszh

↑ martanko:
Uhádnem, že $\rm{e}^{\,\pi}\,<\,\pi^{\,\rm{e}}$ . Detailistov upozorňujem, že nejde o dôkaz. Vysvetlite si tento text ako bočné poznámky na papieri. Ekvivalentnými úpravami je

Funkcia $\rm{e}^{\,x}$ je rastúca, prostá, stačí zistiť, či $\pi\cdot\ln\rm{e}\,<\,\rm{e}\cdot\ln\pi$ . Opäť si strany nerovnice upravím
$\frac{\pi}{\rm{e}}\,<\,\ln\pi$
Teraz si definujeme dve funkcie $u_1(x)=\frac{1}{\rm{e}}\cdot x$ a $u_2(x)=\ln x$ . V bode $x=\rm{e}$ nadobúdajú rovnaké hodnoty. Derivácia teda nerovnosť zanechá, uvažujem len $x\in(\rm{e},4)$ napríklad

Dosadíme $x=\pi$ a máme nepravdivý výrok. Využívam približne $\rm{e}\approx2,7\,;\;\pi\approx3,1$ . Správne je teda $\rm{e}^{\,\pi}\,>\,\pi^{\,\rm{e}}$ .

Dávam priestor nejakým rigoróznym dôkazom :-)

Kondr · 19. 10. 2009 22:42

Protože je $\frac1{e\pi}$ kladné číslo, je provnávání čísel $e^{\pi}$ a $\pi^e$ ekvivalentní s porovnáváním čísel $e^{1/e}$ a $\pi^{1/\pi}$ . Z průběhu funkce $x^{1/x}$ snadno nahlédneme, že první z čísel je větší.

martanko · 20. 10. 2009 20:00

nasiel som nieco taketo...

chceme porovnat $\pi$ a $e$ .. vieme priblizne hodnoty a tak vychadzame z toho ze $\pi > e$ potom $\frac{\pi}{e}>1$

potom vieme ze $\frac{\pi}{e}-1>0$ je kladne cislo, tak sa to da vyjadrit ako $e^{{\frac{\pi}{e}-1}}$ a to je vacsie alebo rovne ako $\frac{\pi}{e}$ to sa da prepisat ako $\frac{e^{\frac{\pi}{e}}}{e}$ co je vacsie alebo rovne ako $\frac{\pi}{e}$ prenasobime s $e$ a ostane $e^{\frac{\pi}{e}}$ co je vacsie alebo rovne ako $\pi$ upravime umocnenim na $e$ ..dostaneme, ze $e^{\pi}$ je vacsie alebo rovne ako $\pi^e$ a z toho uz vyplyva ze $e^{\pi}>\pi^e$

(POZNAMKA: ak vie niekto ako sa pise znak vacsi alebo rovny nech napise..urobim edit nech je to "pekne")

Marian · 20. 10. 2009 21:25

↑ martanko:

V souvislosti s touto úlohou bych upozornil na výrazně méně snadný problém, který jsem řešil v podstatě sám v sekci Zajímavé úlohy zde.

Mj. jsem úlohu na začátku tohoto vlákna kdysi dával studentům přírodovědecké fakulty jako jeden ze zápočtových problémů na test. Podobné úvaze se dá podorbit i zkoumáni dvojice čísel $\pi ^{1/\pi}$ a $\mathrm{e}^{1/\mathrm{e}}$ .

martanko · 20. 10. 2009 21:51

↑ Marian:
pytal som sa to preto, lebo nam o tejto ulohe rozpraval nas doc. Janis, ze patri medzi jeho oblubene ulohy na skuske z analyzy (tiez fak. prirodnych vied). toto riesenie nam v podstate ukazal on pretoze s tym nikto ani nepohol.. no slubil ze je vela variacii na tieto nerovnosti a tento patril k tym "lahkym" tie tazsie radsej nechcem zazit :))

pozeral som i ten odkaz..hm, chcel by som mat hlbsie vedomosti z analyzy a raz to aj dokazat :) inak je to naozaj pekny priklad

Marian · 20. 10. 2009 21:56

↑ martanko:

Škoda, že už nemám starší písemky. Myslím, že studenti přišli asi se čtyřmi různými řešeními tvé úlohy. K dohledání budou tyto věci jistě na internetu. Budu-li mít čas, poohlédnu se na webu.

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2009 21:42 — Editoval martanko (19. 10. 2009 21:42)

co je vacsie?

#2 19. 10. 2009 22:17 — Editoval lukaszh (19. 10. 2009 22:17)

Re: co je vacsie?

#3 19. 10. 2009 22:42

Re: co je vacsie?

#4 20. 10. 2009 20:00

Re: co je vacsie?

#5 20. 10. 2009 21:25

Re: co je vacsie?

#6 20. 10. 2009 21:51

Re: co je vacsie?

#7 20. 10. 2009 21:56

Re: co je vacsie?

Zápatí