Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 21. 03. 2022 10:59
Nekonečný rozvoj funkce tangens
Ahoj, píšu bakalářku, kde zavádím goniometrické funkce pomocí několika nástrojů a zrovna je zavádím pomocí nekonečných řad. Funkce sinus a kosinus šla snadno. Jsou to Maclaurinovy řady, takže udělám derivace, dosadím nulu a je to. Zarazilo mě však, že u funkce tangens to prý nejde. Všechny možné publikace ukazují, že funkci tangens musím vyjádřit jako rozvoj funkce sinus a kosinus. Přitom když si spočítáte derivace tangentu, tak to jde. Proč to teda nelze udělat jako u sinu a kosinu? (Chápu, že u kotangentu už to nejde, protože není v nule definovaný)
Omlouvám se možná za stupidní dotaz, ale nejde mi to do hlavy. Děkuji
Offline
#2 21. 03. 2022 11:35 — Editoval Richard Tuček (21. 03. 2022 11:36)
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Nekonečný rozvoj funkce tangens
↑ Simkovam:
Je nutno použít, že tg = sin/cos
tedy: sin = tg * cos
tg je lichá funkce, tudíž koeficienty u sudých mocnin jsou nulové.
Koeficienty u lichých mocnin vyjádříme z výše uvedené rovnice.
Derivace vyšších řádů funkce tg jsou dosti složité, tudy cesta nevede.
viz též můj web www.tucekweb.info, sekce vyšší matematika
Offline
#3 21. 03. 2022 13:34
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2764
- Reputace: 136
Re: Nekonečný rozvoj funkce tangens
↑ Simkovam:
Tangens má v nule derivace všech řádů, takže Maclaurinovu řadu má. Ale ať už ji počítáš, jak chceš, nedostaneš pro ni nějak obecně napsatelný vzoreček, takže se obávám, že tangens takto nezavedeš. U kosinu dostaneš suma x^(2n)/(2n)! a pak můžeš říct, že je to obráceně - že kosinus není žádná přilehlá ku přeponě, nebo něco podobného, ale že je to tato nekonečná řada. S tangentou by to bzlo možné provést jedině tehdy, kdybys našel obecný vzoreček pro celou řadu (tak jako u toho kosinu). A to se ti, obávám se, nepodaří. Můžeš najít teoreticky libovolný počet členů, ale obávám se, že nikdy ne všechny (= obecný předpis pro n-tý člen).
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#4 21. 03. 2022 14:03 — Editoval Bati (21. 03. 2022 14:03)
Re: Nekonečný rozvoj funkce tangens
Neni to o vzoreccich - Maclaurionovu radu tangensu muzes klidne napsat napr. pomoci Bernoulliho cisel. Jde hlavne o to dokazat, ze dana rada konverguje k funkci, co chces, a tam, kde chces. U sinu a kosinu rozvoj v nule funguje vsude, protoze jsou analyticke, u tangensu konvergence selze pobliz singularit. Protoze ale umime pocitat limity, tak vime, ze singularity jsou jen poly st. 1, takze je mozne definici poupravit, napr.: [mathjax]\tan{x}:=\sum a_ix^i[/mathjax] pro [mathjax]x\in(0,\frac{\pi}4)\cup(\frac{3\pi}4,\pi][/mathjax] a [mathjax]\tan{x}:=\frac1{x-\frac{\pi}2}+\sum b_ix^i[/mathjax] kdyz [mathjax]x\in[\frac{\pi}4,\frac{3\pi}4][/mathjax] a dal [mathjax]\pi[/mathjax]-periodicky. Asi je jasne, ze takova definice je dost neprakticka, takze osobne bych pomoci rady definoval jen sinus a ostatni pomoci vlastnosti.
Offline
#5 21. 03. 2022 15:46
Re: Nekonečný rozvoj funkce tangens
Jedna věc je, jestli lze takovou řadu v principu napsat - a to určitě lze, viz Bati nebo tady, druhá věc je, jestli je to vhodné pro praktické počítání hodnot této funkce.
Abychom to mohli prakticky použít, musí jít koeficienty řady nějak snadno vyčíslit. U sinů a cosinů je to extrémně snadné, a když si řadu trochu přepíšeme tak nepotřebujeme ani ten faktoriál.
Ale jinak to tak jednoduché být nemusí. A počítat si pokaždé symbolicky n-tou derivaci funkce tg jen proto, abychom našli příslušný koeficient se asi nikomu chtít nebude. A stejně tak když vztah pro výpočet nebude nějaký dostatečně jednoduchý (na naprogramování i na výpočet).
Další věc je, že řada by také měla konvergovat dostatečně rychle. Nestačí aby konvergovala, musí to jít rychle. Nikomu se nebude chtít sčítat milion členů jen proto, aby dostal výsledek na 3 platné číslice. U funkce tan se přímo nabízí ho počítat jako podíl sin / cos. Ale není to jediná možnost, jak se k něčemu dopracovat.
Funkce lze také aproximovat jinak než zrovna Taylorovým polynomem, jsou i jiné polynomy, a častokrát nám stačí menží počet členů než u Taylorova polynomu. Známé jsou třeba Čebyševovy polynomy.
Pokud vím, tak třeba na dnešních počítačích umí procesor přímo počítat jedinu funkci - nějaký 2D tangens (nevím přesně co to je) a vše ostatní se už odvodí z toho.
Specifické problémy jsou třeba u inverzních funkcí arcsin či arcccos. Protože když si představíš graf takové funkce, tak v bodě 1 má nekonečnou derivaci (strmost). A to žádný polynom nemá. Takže v blízkosti toho kraje se prostě polynomem vždycky bude aproximovat blbě, a přidávání dalších členů to moc nezlepší. Takže je lepší si zase pomoct nějak jinak.
Offline