Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 07. 04. 2022 21:34
Lambertová funkcia
Dobrý deň. Aké má riešenie rovnica [mathjax]5=(5-x)e^{x}[/mathjax] . Má to byť podľa lambertovej funcie [mathjax]x=5-W_{0}\cdot 5e^{5}[/mathjax] , pokúšal som naštudovať lambertovú funkciu ale ako vypočítať W to som nepochopil. Ďakujem za odpoveď
Offline
#3 07. 04. 2022 23:02 — Editoval jarrro (07. 04. 2022 23:06)
Re: Lambertová funkcia
[mathjax]\begin{align}5 &= \left(5-x\right)\mathrm{e}^{x}\\
-5 &=\mathrm{e}^{5}\left(x-5\right)\mathrm{e}^{x-5}\\
\left(x-5\right)\mathrm{e}^{x-5} &= -5\mathrm{e}^{-5}\\
x-5 &= W{\left(-5\mathrm{e}^{-5}\right)}\\
x &= W{\left(-5\mathrm{e}^{-5}\right)}+5\end{align}[/mathjax]
W je inverzia k [mathjax]x\mathrm{e}^x[/mathjax]. Ale funkcia [mathjax]y=x\mathrm{e}^{x} [/mathjax] je prostá iba na intervaloch [mathjax]\left(-\infty, -1\right\rangle[/mathjax] a [mathjax]\left\langle -1,\infty\right)[/mathjax] ale nie na ich zjednotení preto má pri reálnych argumentoch [mathjax]W[/mathjax]dve vetvy (jednu ako inverziu k [mathjax]y=x\mathrm{e}^{x} \ x\in\left\langle -\infty,-1\right)[/mathjax] a druhú ako inverziu k [mathjax]y=x\mathrm{e}^{x}\ x\in \left\langle -1,\infty\right)[/mathjax]
Jedna vetva dá zrejmé riešenie pôvodnej rovnice nulu a druhá (pravdepodobne)iracionálne číslo 4.96..., ktoré sa dá zistiť iba numericky
MATH IS THE BEST!!!
Offline
#4 08. 04. 2022 10:24
Re: Lambertová funkcia
Ďakujem za odpoveď. Potiaľto rozumiem, ale ďalej už neviem ako určiť numerický výpočet. Oveľa jednoduchšie podľa mňa je zostaviť dostatočne presný graf a pomocou plavajúcej desatinnej čiarky priamo určiť hodnotu.
Offline
#5 08. 04. 2022 10:39 — Editoval Honzc (09. 04. 2022 11:10)
Re: Lambertová funkcia
↑ marostul:
Tady máš aproximaci Lambertovy W funkce
Pro tvůj případ [mathjax]W(-5e^{-5})\approx -0.0348857682557237\Rightarrow x=4.9651142317442763[/mathjax]
Poznámka:
1.Pro hodnoty x v okolí 0 je [mathjax]W(x)\approx x[/mathjax]
a tedy [mathjax]W(-5e^{-5})\approx -0.033689734995[/mathjax] a [mathjax]x\approx 4.966310265[/mathjax]
2.Nebo použít rozvoj [mathjax]W_{0}(x)=x-x^{2}+\frac{3}{2}x^{3}-\frac{8}{3}x^{4}+\frac{125}{24}x^{5}\mp ....[/mathjax]
Offline
#6 09. 04. 2022 00:09
Re: Lambertová funkcia
Existuje celá řada numerických metod, jak (přibližně) určit hodnotu nějaké funkce, kterou nedokážeme vypočítat přímo. Jedna z možností je nahradit funkci mocninnou řadou (viz příspěvek výše). Ale k pochopení proč a jak se to dělá je třeba už trochu vyšší matematika.
Existují ale i mnohem jednodušší (na pochopení) metody, jako třeba metoda půlení intervalu. Máš nějakou funkci f(x) a řešíš rovnici třeba
f(x) = 5
což je to samé, jako f(x) - 5 = 0, což se dá napsat jako g(x) = 0
Stačí když nalezneš nějaké x pro které g(x1) > 0 a jiné pro které g(x2) < 0
Další x vezmeš přesně v polovině mezi x1 a x2, takže x12 = (x1+x2)/2
Potom zkusíš, jestli je g(x12) > 0, nebo g(x12) < 0
V prvním případě máš nový interval (x12, x2), ve druhém (x1, x12)
A pokračuješ zase od začátku. S každým krokem se ti přesnost zdvojnásobí. Po deseti krocích bude zhruba 1000x lepší, po dalších deseti 1000 000x atd. Takže ti obecně stačí pár kroků, abys získal docela slušný výsledek.
Pokud má tvá funkce "dobrý" tvar a dokážeš spočítat i její derivaci, můžeš použít Newtonovu metodu, která konverguje značně rychleji. Newtonův iterační postup je
[mathjax]x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}[/mathjax]
Offline