Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 10. 04. 2022 19:17
Laurentova řada a klasifikace singularit
Potřeboval bych se ujistit v jedné věci - charakterizaci singularit pomocí tvaru Laurentovy řady
Mám funkci
[mathjax]f(z)=\frac{1}{z^{3}-4z^{2}+4z}[/mathjax]
tedy
[mathjax]\frac{1}{z(z-2)^{2}}[/mathjax]
Mám najít Laurentovu řadu v bodě 2, 0 a nekonečno.
Bod 2:
[mathjax]f(z)=\frac{1}{2}\sum_{n=-2}^{\infty }(-\frac{1}{2})^{n+2}(z-2)^{n}[/mathjax]
Hlavní část (do n = -1) má jen konečný počet nenulových členů, je to tedy pól, číslo "k", který je největší s vlastností [mathjax]a_{-k} [/mathjax] se nerovná 0, je násobnost pólu - zde k = 2, tedy funkce má v bodě 2 pól násobnosti 2
Bod 0:
[mathjax]f(z)=\sum_{n=-1}^{\infty }\frac{1}{2n+3}(n+2)z^{n}[/mathjax]
Hlavní část (do n = -1) má jen konečný počet nenulových členů, je to tedy pól, číslo "k", který je největší s vlastností [mathjax]a_{-k} [/mathjax] se nerovná 0, je násobnost pólu - zde k = 1, tedy funkce má v bodě 0 pól násobnosti 1
Bod nekonečno:
[mathjax]f(z)=\sum_{n=3}^{\infty }2^{n-3}(n-2)\frac{1}{z^{n}}[/mathjax]
Hlavní část Laurentovy řady v bodě nekonečno funkce f má všechny členy nulové (suma začíná až od n=3, tedy v regulární části), je to tedy odstranitelná singularita.
Snad je to dobře, jde mi hlavně o to potvrzení / vyvrácení.
Předem díky.
Offline
#2 10. 04. 2022 20:42
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
↑ 2M70:
Funkce má v 0 pól násobnosti 1, ve 2 pól násobnosti 2
Např. v 0 jsou Laurentovy rozvoje 2
v kruhu se středem v počátku a poloměru r=2
vně kruhu je jiný Laurentův rozvoj
viz též můj web www.tucekweb.info sekce matematika
Offline
#3 10. 04. 2022 20:45
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
↑ Richard Tuček:
Jen si nejsem jistý tím nekonečnem.
Jinak o (ne)přístupnosti vašich stránek píši ve vedlejším vláknu.
Offline
#4 11. 04. 2022 09:10
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
↑ 2M70:
Ahoj, pokud ma funkce v bode [mathjax]z_0[/mathjax] pol, nasobis clenem [mathjax]z-z_0[/mathjax] do te doby, nez z toho udelas odstanitelnou singularitu. Kolikrat to musis udelat je nasobnost polu. Pokud to nejde (napr. [mathjax]e^{-1/|z|}[/mathjax]), pak to je singularita podstatna. Tva funkce je po vynasobeni [mathjax]z[/mathjax], spojita v [mathjax]0[/mathjax] a po vynasobeni [mathjax](z-2)^2[/mathjax] spojita v [mathjax]2[/mathjax], takze nasobnosti 1 a 2. V nekonecnu to ma v abs. hodnote limitu 0, takze muzes spojite dodefinovat, tj. singularita je odstranitelna. Rozvoje jsem nekontroloval.
Offline
#5 12. 04. 2022 16:01
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
↑ Bati:
Ahoj, nevím si rady s tím nekonečnem - suma začíná od +3, ale nevím, zda se náhodou nemá postupovat podle poučky, že u LŘ v nekonečnu se "prohazuje" regulární a hlavní část, tedy regulární od mínus nekonečna do nuly a hlavní část od +1 do plus nekonečna. Pak by totiž měla Laurentova řada nekonečně mnoho nenulových členů v hlavní části, a tedy by šlo o podstatnou singularitu.
Pokud platí i v tomto případě hlavní část do (-1) a regulární od 0 do plus nekonečna, tak má Laurentova řada samozřejmě v hlavní části všechny členy nulové, a jde tedy o odstranitelnou singularitu.
Tak nevím :-(
Offline
#7 14. 04. 2022 20:18
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
Vážně nikdo nic? Jde jen o tu charakteristiku singularity v nekonečnu, zda je odstranitelná, nebo podstatná. (Záleží na tom, jestli v tomto případě "prohazuji" regulární a hlavní část LŘ, když počítám v nekonečnu). Díky moc za jakoukoli pomoc!
Offline
#8 14. 04. 2022 22:38
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
Bati napsal(a):
↑ 2M70:
V nekonecnu to ma v abs. hodnote limitu 0, takze muzes spojite dodefinovat, tj. singularita je odstranitelna.
Hlavni a regularni casti je jen umela otazka nazvoslovi - nekdo to pro nekonecno prohazuje, nekdo rozvinuje pro 1/x, je to naprosto jedno.
Offline
#9 15. 04. 2022 13:31
Re: Laurentova řada a klasifikace singularit
↑ Bati:
Čili, když mám tu Laurentovu řadu
[mathjax]f(z)=\sum_{n=3}^{\infty }2^{n-3}(n-2)\frac{1}{z^{n}}[/mathjax]
tak tam vlastně mám [mathjax]\frac{1}{z^{n}}[/mathjax], čímž jsem i pro nekonečno v regulární části, v hlavní části nemám žádný nenulový člen, takže to asi bude opravdu odstranitelná singularita.
Offline