Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 06. 2022 22:15

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Vnímání gravitace při různých rychlostech

Ahoj,
budu vnímat gravitaci stejně ať se pohybuji jakoukoliv rychlostí? Přesněji:
Pohybuji se rovnoměrně přímočaře (řekněme rovnoběžně s povrchem Země) a např. velmi rychle (řekněme první kosmickou rychlostí). Budu v tomto případě vnímat působení gravitační síly stejně jako kdybych na Zemi jen stál?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#2 08. 06. 2022 12:30

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Mno, pokud je pro tebe vysoká rychlost už první kosmická, tak je odpověď asi celkem jednoduchá. Pro většinu fyziků je  vysoká rychlost když se to začne blížit rychlosti světla - pak se teprve začnou dít nějaké zajímavější věci.

Pro jistotu si situaci pečlivě definujeme - že se pohybuješ v opravdu homogenním gravitačním poli, tedy že ona "Země" je nekonečně velká placka, a pole nad ní je všude stejné a míří směrem vzůru. A že ona situace (kdy se pohybuješ v gravitačním poli) netrvá úplně nekonečně dlouho. Né že by na tom záleželo, ale takto je to přeci jen jednodušší.

Jediným problematickým bodem zůstává definice termínu "vnímání".  Zatím mě napadají 3 způsoby, jak lze "vnímat" gravitační pole:

1) Nedělat nic, a nechat se unášet gravitační silou, volným pádem. To je asi ten nejjednodušší případ

2) Pokud tedy trváš na tom, že se budeš pohybovat po přímce (v konstantní výšce), budeš potřebovat nějakou sílu, co tě tam bude držet. V rámci Newtonovy fyziky s tím problém není, ale u té relativistické už docela ano. Ale pokud se tedy budeš pohybovat v konstantní výšce, můžeš gravitaci vnímat dvěma způsoby:

2a) budeš si pouštět malé testovací kuličky a koukat jak padají
2b) budeš ty testovací kuličky udržovat na místě pomocí nějaké negravitační síly a měřit tu sílu. Můžeš je třeba pověsit na pružinu - ale zase, relativistický popis pružiny je věc, kterou běžný člověk nedokáže udělat. V tom případě je lepší použít elektrickou sílu, protože ta se relativisticky transformuje docela dobře.

To be continued...

Offline

 

#3 08. 06. 2022 12:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

A teď - pokud tedy uvažujeme, že obecná teorie relativity popisuje gravitaci správně, tak platí princip ekvivalence mezi setrvačnými a gravitačními silami. Znamená to tedy, že gravitační působení lze beze zbytku nahradit tím, že si zvolíme vhodnou neinerciální vztažnou soustavu. Pro reálná gravitační pole to platí jen lokálně, tedy že o kus dál už musíme použít jinou neinerciální soustavu.

Ale v našem modelovém homogenním gravitačním poli nám stačí jedna (globální) neinerciální soustava. Prostě taková, co se pohybuje s konstantním zrychlením. V relativistické fyzice je to konstantní zrychlení podle vlastního času.

(od teď budu výrazem "gravitační pole" automaticky předpokládat naše homogenní gravitační pole, které lze v celém prostoru nahradit jednou ekvivalentní neinerciální soustavou. V obecném poli by to takto neplatilo, platilo by to jen lokálně)

Dále tedy platí, že pokud necháme v našem gravitačním poli padat nějaké testovací kuličky a spojíme s nimi souřadnou soustavu, tak tahle soustava bude inerciální. A o moc víc už ani nepotřebujeme.

Pokud se tedy nebudeš udržovat v konstantní výšce nějakými negravitačními silami, budeš se pohybovat přímočaře vzhledem k té inerciální sosutavě, spojené s testovacími kuličkami. A ty kuličky v dopředném směru mohou klidně stát, jen padají volným pádem dolů. V této soustavě se budeš pohybovat po přímce konstantní rychlostí, vzhledem k soustavě spojené se zemí tedy po nějaké té parabole, a žádné gravitační síly nebudeš vnímat vůbec. Ani ty ani nic jiného. Při volném pádu gravitační pole takto dokonale vymizí a nelze je detekovat vůbec ničím.

A platí to i třeba pro světlo - to se taky bude pohybovat po přímce vzhledem k té soustavě spojené s volně padajícími kuličkami. A protože víme, jak se mění rychlost těch padajících kuliček (alespoň v Newtonových situacích to víme), můžeme snadno spočítat jak se budeš vůči zemi  pohybovat ty nebo třeba i světlo. Všechno bude zrychlovat se stejným zrychlením ve směru gravitačního pole.

Úplně stejně, jako by to bylo vzhledem ke zrychlující raketě. Můžeš si představit, že věci se prostě pohybují tou konstantní rychlostí a "zrychluje" ta souřadná soustava kolem.

Offline

 

#4 08. 06. 2022 12:48 — Editoval MichalAld (08. 06. 2022 12:56)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Další případy vnímání gravitačního pole se pokusím analyzovat později, teď už nemám moc času. Vyjít se musí zase z toho, že experiment  musí dopadnout stejně, ať ho popisuje okolní pozorovatel (vůči kterému se ty i se svým "vnímacím přístrojem" pohybujete) nebo ho popisuješ ty (který stojíš i se svým přístrojem na místě a pohybuje se kolem ta země s gravitačním polem).

A protože tvůj přístroj vyvažuje gravitační sílu elektrickým polem, a tam se nám za pohybu objevuje i magnetické pole, mělo by se nám objevit podobná věc i u gravitačního pole. A to se skutečně děje, existuje něco jako "gravi-magnetismus". Ale do tohodle už zase tolik nevidím, tak napíšu jen čím jsem si relativně jistý. Na něco se můžeš podívat i sám:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism

Narozdíl od skutečného elektromagnetismu, který funguje vždycky, tohle funguje jen ve slabých gravitačních polích. V silných polích (u černých děr) je to odlišné, rovnice gravitačního pole nejsou lineární, a tenhle efekt (gravitační magnetické pole) je takový dost okrajový efekt.

On by to byl okrajový efekt i u elektrického pole, když bychom měli všechni částice se stejným nábojem, jako u gravitace. Ale u elektrického náboje je to jinak, existuje kladný i záporný, což nám umožňuje elektrické síly vyrušit a pozorovat (či dokonce využívat) ty magnetické, byť jsou tuším c-krát, či dokonce c^2 krát slabší.

Čímž se nakonec dobreme k otázce, zdali stojící země vytváří stejné gravitační pole jako pohybující se země - myslím pohybující se relativistickými rychlostmi. A já se přiznám, že úplně nevím, jestli na to znám správnou odpověď. Sám bych chtěl zkusit se k tomu nějak dobrat. Ale jisté je to, že soustava spojená s volně padajícími tělesy je dokonale inerciální a žádné pole v ní nexistuje.

Offline

 

#5 08. 06. 2022 21:19

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ MichalAld:
Ahoj, mě spíš zajímalo kdybych stál na pevné podložce (řekněme auto co jede velkou rychlostí). Např. to vnímání gravitace můžeme popsat pomocí toho, zda bych vážil stejně v autě, které stojí nebo v autě, které jede.
A klidně to vše uvažujme v newtonovské mechanice, protože mě nejde o rychlosti blízké rychlostem světle, ale o nějaké "reálné", tedy třeba max první kosmická rychlost.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#6 08. 06. 2022 23:20

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Jako výsledek je jednoduchý, budeš to vnímat úplně stejně. Jen je komplikované to odvodit. V newtonovské mechanice vlastně ani né...protože jak vlastně poznáš, jestli to auto stojí, nebo jede?

V Newtonově mechanice gravitační pole nezávisí na rychlosti. Jenže zároveň se ví, že Newtonovo gravitační pole je úplně špatný popis, který prostě nevyhovuje požadavkům teorie relativity. Zatímco třeba elektromagnetické pole ano. A při pohybu v el. mag. poli dochází k jevům, které se projevují i při docela malých rychlostech, ne jen při těch velkých. Jako je zrovna to magnetické pole.


Lepší popis gravitace je ta ekvivalence se zrychlující souřadnou soustavou. To platí za mnohem obecnějších podmínek (vlastně to platí vždycky). Pokud tedy složíš zrychlený pohyb a pohyb konstantní rychlostí, dostaneš zase zrychlený pohyb, se stejným zrychlením, tedy se stejným "gravitačním polem". Dodatečný pohyb souřadné soustavy konstantní rychlostí nemá na setrvační síly vliv (tedy ani na "gravitaci").

Offline

 

#7 09. 06. 2022 16:08

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Nakonec zase skončíme u Rindlerových souřadnic.

To jsou souřadnice představující soustavu, která se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem (vůči inerciální soustavě) a navíc takové, že prostorová část metriky jsou normální kartézské souřadnice. Tedy pro prostorové vzdálenosti platí normální Pythagorova věta [mathjax]\Delta l^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2[/mathjax]. Časová část metrického tenzoru ovšem vychází jiná, rychlost "chodu času" (chodu hodin) závisí na tom, v jaké výšce se nacházíme.

Celková metrika v takovéto soustavě je tedy

[mathjax]ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}[/mathjax]

No a teď zbývá probrat dva body:

1) Tohle je přesně to samé jako homogenní gravitační pole
2) Metrický tenzor se nezmění při pohybu konstantní rychlostí

K bodu 1) - takto k tomu přistupuje obecná teorie relativity. I když je to vlastně čistě matematická věc. V "neinerciálních soustavách" nepůsobí žádné zdánlivé či setrvačné síly. Je tam prostě jen pokřivený časoprostor, metrický tenzor není matice diag(-1, 1, 1, 1) ale je obecně jiný a závisí na poloze (v prostoru i čase).

A (relativistický) Newtonův zákon je stále

[mathjax]\frac{d^2X}{ds^2} = 0[/mathjax]  (X je poloha v časoprostoru a s je prostě nějaký parametr (třeba vlastní čas))

akorát že tam není normální derivace, ale kovariantní derivace. Která už v sobě zahrnuje vliv použitých souřadnic (vliv metrického tenzoru). Takže ve skutečnosti je to tzv. rovnice geodetiky.

Takže v obecné relativitě neexistují žádné gravitační ani setrvačné síly, ale namísto nich nastupují ty Christofellovy symboly v "kovariantním Newtonově zákoně". Christofellovy symboly jsou zase vykombinované ze složek metrického tenzoru a jejich derivací. Takže pokud se nemění metrický tenzor, nemění se ani ony, a tudíž vedou i na stejnou trajektorii, tedy přeneseně, v soustavě působí stejné setrvačné nebo gravitační síly.

Celá obecná relativita je postavená na tom, že setrvačné a gravitační síly od sebe nelze odlišit, takže gravitace je zase jen nějak deformovaný časoprostor, popsaný vhodným metrickým tenzorem.

Bod 2) si myslím, že je jasný, pohyb konstantní rychlostí je Lorentzova transformace, a ta metrický tenzor nemění. Je to taková kvasi-orthogonální transformace, odpovídající klasickému natočení souřadnic - jen se zohledněním té zvláštní metriky mezi časem a prostorem (to znaménko minus u časové složky).

Líp už asi zdůvodnit nedokážu, proč pohyb konstantní rychlostí nemá na gravitační (či setrvačné) účinky vliv. Newtonova gravitační teorie se tímhle ale moc nezabývá, tam je gravitační síla prostě úměrná hmotnosti a vzdálenosti - a nezávisí ani na rychlosti, ale ani na čase (takže se v principu šíří nekonečně rychle). Není to moc dobrý popis gravitace...

Offline

 

#8 12. 06. 2022 17:13

pietro
Příspěvky: 4678
Reputace:   186 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ check_drummer:
Ahoj 🙋‍♂️,
Otázka vnímania je pre nás zásadná. Vnímame silu, gravitáciu, žiarenie, energiu, teplo, teplotu, tlak alebo aj jednoduchšie(?) entity, dĺžku, hmotnosť, čas.
Fyzika "vie urobiť" kvantitatívne vzťahy medzi týmito vnemami.
Je to taká prekrásna skladačka. 🙂

Offline

 

#9 12. 06. 2022 17:55

misaH
Příspěvky: 12928
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Offline

 

#10 12. 06. 2022 22:41

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Já si naopak myslím, že otázka vnímání gravitace je dost nepodstatná. Pokud bude gravitační pole stejné v obou soustavách (stojící a pohybující se) tak ho budeme také vnímat stejně, ať už je ten mechanismus jakýkoliv. Pokud bude rozdílné, budeme ho nejspíš i my vnímat rozdílně.

Navíc senzor gravitačního pole není nic záhadného - je to někde ve středním uchu, dutina naplněná kapalinou, ve které plavou drobné krystalky. Na kterou stranu si posedají, tam míří gravitační síla.

Offline

 

#11 13. 06. 2022 16:03

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ pietro:
Ahoj, stačí nám vnímání gravitace, např. znázorněné pomocí váhy, jak jsem psal.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#12 13. 06. 2022 16:25

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ check_drummer:

Mmch, považuješ odlišný chod hodin v různých výškách za "relativistický efekt" nebo za "normální" ? Protože ono to lze pozorovat i na Zemi, dokonce při výškovém rozdílu pouhých 20 metrů...


Newtonova mechanika samozřejmě nezná nic jako rozdílný chod hodin

Offline

 

#13 13. 06. 2022 19:54 — Editoval pietro (13. 06. 2022 19:57)

pietro
Příspěvky: 4678
Reputace:   186 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ check_drummer:
Ahoj, neviem co z toho vylezie, len si pripravujem podmienky.
Takže homogénne gravitačné pole a kolmo na neho viazaný pohyb po priamke.
Počiatočná rýchlosť v0.

Offline

 

#14 13. 06. 2022 20:05

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ pietro:

To není úplně přesné. Správně to je, že pole, které je homogenní v souřadné soustavě S, bude jaké v soustavě S', která se pohybuje konstantní rychlostí vůči S, směrem kolmým na pole v soustavě S.

Offline

 

#15 13. 06. 2022 21:34

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ MichalAld:
Já uvažuju že vše je po Newtonovsku.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#16 13. 06. 2022 22:22

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Pokud je vše po Newtonovsku, tak gravitační síla závisí jen na vzdálenosti, rychlost na ni nemá vůbec žádný vliv.

Offline

 

#17 14. 06. 2022 07:31

pietro
Příspěvky: 4678
Reputace:   186 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

Go to... google(Inertial system in gravitational field homogeneous)

.... To nedám, aj keď je tam sympatický cosh. :-(

Offline

 

#18 14. 06. 2022 10:30

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ pietro:
Jestli myslíš tohle, tak to je hezké, zkusím to ve volném čase projít, třeba přijdu na to, jak to ještě trochu zjednodušit.

Nicméně to je pořád ten správný (relativistický) přístup. Newtonova fyzika nezná nic jako ekvivalenci setrvačných a gravitačních sil. Tam je to čistě náhodná věc, že setrvačná hmotnost a gravitační hmotnost jsou stejné, a že volný pád nezávisí na hmotnosti tělesa.

Offline

 

#19 14. 06. 2022 11:12

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

MichalAld napsal(a):

Pokud je vše po Newtonovsku, tak gravitační síla závisí jen na vzdálenosti, rychlost na ni nemá vůbec žádný vliv.

Jak to? Pokud se budu pohybovat volným pádem, tak gravitaci vnímat nebudu...


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#20 14. 06. 2022 12:42 — Editoval MichalAld (14. 06. 2022 12:47)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4172
Reputace:   111 
 

Re: Vnímání gravitace při různých rychlostech

↑ check_drummer:
Budeš vnímat gravitační sílu směrem dolů a zdánlivou setrvačnou sílu směrem nahoru (ve zrychlujícícíh soustavách působí zdánlivé síly). Shodou okolností mají stejnou velikost ... takže celkový výsledek bude nulová síla.

Ano, ani newtonovská mechanika neposkytuje žádnou možnost jak tyhle síly rozlišit, jejich přesná shoda je zde ovšem "čistě náhodná". Narozdíl od metrických teorií gravitace, které jsou na ekvivalenci setrvačných a gravitačních sil postavené.


Stejně tak budeš vnímat "gravitační pole" i v soustavě, která se pohybuje zrychleným pohybem (Rindlerova soustava) i když tam žádné "skutečné" gravitační pole nebude - a budete se nacházet v úplně prázdném prostoru. Ale v newtonově mechanice je to prostě pole setrvačných sil, a se skutečnou gravitací nijak nesouvisí.


Já to říkal hned na začátku, dnes je docela problém uvažovat o gravitaci v čistně newtonovském pohledu. Protože ta ekvivalence gravitačních a setrvačných sil je prostě do očí bijící a člověk na ni naráží pořád ... takže je docela hloupé se tvářit jako že nic takového neexistuje...ale Newton na tohle prostě nepřišel.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson