Matematické Fórum

↑↑ Eratosthenes:

Myslím, že máš trochu zvláštní představu o tom, co je to (fyzikální) rozměr. Fyzikální rozměr je to, co závisí definici jednotek, ve kterých měříme. Myslím na fyzikální definici.

Třeba kilogram je nějaké množství hmoty. Ve skutečnosti je úplně jedno jaké...ale když ho změníme, změní se nám všechny fyzikální konstanty, v jejichž fyzikálním rozměru vystupuje kilogram.

Stejné úvahy lze samozřejmě vést o definici jednotky úhlu - rozdíl je ale v tom, že definice úhlu se odehrává čistě v matematice, nepotřebujeme k tomu reálný svět. A v matematice jsou všechna čísla "bezrozměrná". Protože (fyzikální) rozměr se vztahuje ke skutečnému světu.

V matematice je tedy zcela korektní hledat kruh, který má stejný obvod jako obsah. V reálném světě je to nesmysl.


A k definici stupně nepotřebuješ pravý úhel ... můžeš klidně říct, že "celá rovina" má 360° nebo 2*PI radiánů. Není v tom vůbec žádný rozdíl. A v obou případech musíš vymyslet nějaký postup, jak zkonstruovat úhel o obecné velikosti ... a to se ti bez délky nějaké křivky (nemusí to být nutně kružnice) prostě nepodaří. Ani u stupňů, ani u radiánů. Není v tom vůbec žádný rozdíl.

Stejně jako není rozdíl mezi přirozeným logaritmem a jakýmkoliv jiným. Jen je ten přirozený něčím trochu speciální, stejně jako ta "přirozená" oblouková míra.

Vlatně nemusíš ani mít délku té křivky, když budeš umět dělit úhel na půl, a k tomu sčítat nekonečné řady, vystačíš si s tím v principu taky. Ale je to jedno - úhel je čistě matematická záležitost, takže nemůže mít fyzikální rozměr.

↑ Eratosthenes:
Spíš ten reálný svět.

Ono teda i v matematice je do jisté míry nesmysl hledat kruh co má stejný obvod a obsah. V geometrii určitě.

Ale lze hledat takové číslo, pro které platí [mathjax]2 \pi r = \pi r^2[/mathjax]. Jenže v reálném světě to má poněkud spornou interpretaci, protože výsledek bude vždycky 2, ať už je základní jednotka délky jakákoliv. Takže by ten kruh byl pokaždé jinak velký, podle toho, jak velký bude jeden metr.

Od fyzikálních zákonů ale očekáváme právě opak, že dostanem stejný (fyzicky stejný) výsledek bez ohledu na to, v jakých jednotkách měříme.