Matematické Fórum

↑ Richard Tuček:

Souhlasím, že nemůže konvergovat pro x > 0, exponenciála by divergovala.

Pro x = 0 by to měla být řada ze samých nul, pro x = (-1) taky, neboť

[mathjax]\lim_{n\to\infty }(-1)^{\alpha }exp(-n)=0[/mathjax]

Teď jde o to, jak vyšetřit pro hodnoty "x" uvnitř intervalů a jak diskutovat pro různé hodnoty parametru "alpha".

Podobný příklad máte na stránce 29-30 souboru o stejnoměrné konvergenci, ale tam je

[mathjax]|x|^{\alpha }exp(-n|x|)[/mathjax],

když odmyslím ty absolutní hodnoty, je zásadní rozdíl v tom, že tam je exp(-nx).

Bohužel nemám nápad, jaké kritérium zvolit, napadá mě ten Abel/Dirichlet.

↑ Bati:

>> Pokud alfa je realne cislo, je potreba tam tu absolutni hodnotu mit, jinak odmocnujes zaporna cisla.

Pokud alfa je reálné číslo, je pro x<0 odpověď jasná. Řada tam není definovaná, protože v zadání tu abs. hodnotu nemá.

Bati napsal(a):

↑ Richard Tuček:↑ 2M70: no, uvedl bych to trochu na pravou miru:

1) Pokud [mathjax]\alpha[/mathjax] je realne cislo, je potreba tam tu absolutni hodnotu mit, jinak odmocnujes zaporna cisla.
2) rada diverguje pro [mathjax]x\geq0[/mathjax], tj vcetne nuly.
3) [mathjax]e^0[/mathjax] neni nula.
4) snadno se nahledne, ze pokud [mathjax]x<0[/mathjax], castecne soucty jsou [mathjax]\frac{e^x-e^{(N+1)x}}{1-e^x}[/mathjax] s bodovou limitou [mathjax]\frac{e^x}{1-e^x}[/mathjax].
5) zbyva vysetrit stejnomernou kovergenci vyrazu [mathjax]\left|\frac{e^x-e^{(N+1)x}}{1-e^x}-\frac{e^x}{1-e^x}\right|=\frac{e^{(N+1)x}}{1-e^x}[/mathjax] k nule. Na [mathjax](-\infty,-\delta)[/mathjax] odhadni jmenovatele pomoci [mathjax]\delta[/mathjax]. Na [mathjax](-\delta,0)[/mathjax] pouzij [mathjax]1-e^x\approx -x[/mathjax].

ad 1) ale v zadání žádná absolutní hodnota není

ad 2) Ta nula - počítám [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }0^{\alpha }.exp(0.n)=0[/mathjax]

a pro (-1) ... [mathjax]\lim_{n\to\infty }exp(-1.n)=\lim_{n\to\infty }exp(-n)=0[/mathjax],

[mathjax]x^{a} [/mathjax] dá [mathjax](-1)^{n}[/mathjax]df


ad 3) - to rozebírám v (2)

ad 4) ten částečný součet mám ve svém prvním příspěvku, jen jinak zapsaný (s vytknutím exp(x))

[mathjax]x^{\alpha }.\frac{exp(Nx)-1}{exp(x)-1}exp(x)[/mathjax]

kde mám ale navíc [mathjax]x^{\alpha }[/mathjax], nevím, zda ho můžu dát pryč. Pro x < 0 je to "záporné číslo na alfa".

Ta bodová limita vyjde, když vezmu [mathjax]\lim_{N\to \infty }exp(N.x)=0[/mathjax], pro x < 0 je [mathjax]\lim_{N\to \infty }exp(-N)=0[/mathjax]. Pak bodová limita [mathjax]\frac{0-1}{exp(x)-1}=\frac{-1}{exp(x)-1}=\frac{1}{1-exp(x)}[/mathjax]

kde mi ale chybí právě to [mathjax]x^{\alpha }[/mathjax], a exp(nx).

ad 5) Proč to vlastně "havaruje" právě v (-1)?

Odkud je odhad [mathjax]1-e^x\approx -x[/mathjax] a pro jaké hodnoty "x" platí?

A zásadní  - podle kterého kritéria vlastně určuji konvergenci řady? Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

[mathjax]x^{a} exp(nx)[/mathjax]

je jen nutná podmínka, ne postačující.

A zásadní je i diskuze výsledku stejnoměrné konvergence řady funkcí pro různé hodnoty parametru "alpha".


Prostě zatím jsem ještě velmi vzdálen od cíle (tedy vyšetření stejnoměrné konvergence řady funkcí)

Nápad:

Kdybychom vzali JENOM řadu [mathjax]\sum_{k=0}^{\infty }x^{k}[/mathjax]

je to geometrická řada, která konverguje pro |x| < 1, tedy (-1; 1).

Součet je

[mathjax]\sum_{k=0}^{\infty }x^{k}=\frac{1}{1-x}[/mathjax]

Pro x jdoucí k 1 zleva diverguje do nekonečna.

Suprema:

[mathjax]sup_{x\in (-1,1)}|\sum_{k=0}^{N}x^{k}-\frac{1}{1-x}|= sup|\frac{1-x^{N+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}|=sup|\frac{x^{N+1}}{1-x}|\Rightarrow \infty [/mathjax]

Když ale odstraníme krajní body, ve kterých to "havaruje", [mathjax](-1+\delta ,1-\delta )[/mathjax]

tak

[mathjax]sup_{x\in (-1+\delta ,1-\delta )}|\sum_{k=0}^{N}x^{k}-\frac{1}{1-x}|= sup|\frac{|x|^{N+1}}{1-x}|\le |\frac{(1-\delta )^{N+1}}{\delta }| \Rightarrow 0[/mathjax]

Jako hlavní problém vidím, že řada je indexovaná už od nuly.

Zapomněl jsem na důležitou věc ze zadání:

Parametr alfa je přirozené číslo nebo nula. Tedy celé, nezáporné.

↑ 2M70:
[mathjax]\delta>0[/mathjax], zapomnel jsi na minus