Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 11. 2022 09:37

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

Mám integrál

[mathjax]\int_{0}^{1}\frac{ln(1/x)}{1-x^{2}}dx[/mathjax]

Početní postup pomocí rozvinutí integrandu do řady a záměny řady a integrálu je mi jasný, potřebuji však ověřit předpoklady použité věty.

Tedy zdůvodnit možnost záměny

[mathjax]\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty }x^{2n}.(-ln(x))=!=\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{1}x^{2n}.(-ln(x))[/mathjax]

Nejprve mě napadá Leviho věta,

1)
pro [mathjax]x\in (0,1)[/mathjax] je [mathjax]ln(x)<0[/mathjax], tedy [mathjax]-ln(x)>0[/mathjax], [mathjax]x^{2n}>0[/mathjax],
nebo úpravou
[mathjax]\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty }x^{2n}.(-ln(x))=-\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty }x^{2n}.(ln(x))[/mathjax]
[mathjax]\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{1}x^{2n}.(-ln(x))=-\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{1}x^{2n}.(ln(x))[/mathjax]

tedy integrovaná funkce je nezáporná.

2)
integrovaná funkce je spojitá, a tedy měřitelná

3)
s touto podmínkou si nejsem jistý,

znění předpokladu:
[mathjax]v=\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}[/mathjax],
[mathjax]\int_{M}^{}v.d\mu =\int_{M}^{}\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}d\mu =\sum_{n=1}^{\infty }\int_{M}^{}v_{n}d\mu [/mathjax]
existuje [mathjax]K\in \mathbb{R}[/mathjax], tak, že pro každé [mathjax]j\in \mathbb{N}[/mathjax] je
[mathjax]\sum_{n=1}^{j}\int_{M}^{}v_{n}d\mu \le K[/mathjax]


tady by asi "K" mělo být výsledek výpočtu, tedy [mathjax]\frac{\pi ^{2}}{8}[/mathjax],
ale potíž v ověření vidím v tom, ověřit, že pro každé [mathjax]j\in \mathbb{N}[/mathjax] je [mathjax]\sum_{n=1}^{j}\int_{M}^{}v_{n}d\mu \le K[/mathjax]

Offline

 

#2 23. 11. 2022 18:45

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Podle mě stačí ukázat, že ta řada na intervalu (0;1) konverguje.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 23. 11. 2022 18:57

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

To znamená, že stačí, že výsledná  řada

[mathjax]\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{1}x^{2n}.(-ln(x))dx=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1)^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{8}[/mathjax]

má konečnou hodnotu [mathjax]\frac{\pi ^{2}}{8}[/mathjax] ?

Offline

 

#4 24. 11. 2022 00:46

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Ne, musíš dokázat konvergenci řady, kterou chceš integrovat.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#5 24. 11. 2022 14:08

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Myslíš, že stačí, že

[mathjax]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^{2}}[/mathjax]

a řada

[mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^{2}}[/mathjax]

konverguje?

Resp. zda je potřeba dát jako horní mez nějakou konečnou hodnotu a jak se to projeví na konvergenci?

Offline

 

#6 24. 11. 2022 16:50

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Ne, musíš dokázat konvergenci řady

[mathjax]\sum_{n=0}^{\infty }x^{2n}.(-ln(x))[/mathjax]

pro [mathjax]x\in (0;1)[/mathjax]


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#7 24. 11. 2022 17:50

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Teď ovšem moc nevím, jak na to, není to podobné žádné řadě, jejíž konvergenci jsem doteď řešil.

Jediné, co mě napadá, že [mathjax]x^{2n}\Rightarrow 0[/mathjax] pro [mathjax]n\Rightarrow \infty [/mathjax]

Offline

 

#8 24. 11. 2022 18:58

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Co třeba d'Alembertovo kriterium?


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#9 24. 11. 2022 19:02

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Předpokládal jsem, že k dispozici mám pouze Weierstrassovo, Abelovo-Dirichletovo a Leibnitzovo kritérium.

Offline

 

#10 24. 11. 2022 19:23

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Leibnitzovo kritérium je nepoužitelné - řada nestřídá znaménka.

Weierstrassovo kriterium - budiž, tak ho použij.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#11 24. 11. 2022 19:47

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Co takto?:

ln(x) < 0 na (0,1), (-ln x) > 0 na (0,1)

- ln (x) = ln (1/x), ln (1/x) < x na (0,1)

[mathjax]x^{2n}ln(\frac{1}{x})<x^{2n}.x[/mathjax]

[mathjax]x^{2n}.x=x^{2n+1}[/mathjax]

[mathjax]\lim_{n\to \infty }x^{2n+1}=0[/mathjax] pro [mathjax]x\in (0,1)[/mathjax]

Řada by tedy na (0,1) měla stejnoměrně konvergovat podle Weierstrassova kritéria.

Offline

 

#12 24. 11. 2022 23:19

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Ne.

ln (1/x) < x  na (0,1)

je špatně (zkus si dosadit x=1/e).

A teď se dívám na tu řadu a obávám se, že špatně je už ta řada...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#13 25. 11. 2022 11:34

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Myslíš, že je špatně už řada [mathjax]\sum_{n=0}^{\infty }x^{2n}.(-ln(x))[/mathjax]?

Snažil jsem se pro toho Weierstrasse najít rozumnou majorantu, ale jak vidím, tak špatně.

Offline

 

#14 25. 11. 2022 12:07

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Asi ano. Limita každého člene té řady pro x-->0+ je totiž nula a integrandu nekonečno. Z toho důvodu asi ani nenajdeš k integrandu konvergující majorantu.

Zkus nejdřív v tom integrálu substituci x=1/y.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#15 25. 11. 2022 12:15

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Ještě než budu dělat tu substituci - podle toho, co píšeš, tedy že nenajdu konvergující majorantu, tedy asi bude Weierstrass nepoužitelný. A na Dirichleta bych potřeboval, aby v tom součinu dvou funkcí jedna stejnoměrně konvergovala k nule a druhá měla stejnoměrně omezené částečné součty. Což asi nemám.

Offline

 

#16 25. 11. 2022 12:40

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

Když je limita nekonečno, tak to určitě nemáš...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#17 25. 11. 2022 12:47

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ Eratosthenes:

Takže škrtám Weierstrasse, Dirichleta + Abela, a z podstaty věci samozřejmě Leibnitze (on je to vlastně jen speciální případ Dirichleta). Tak to už nezbývá prakticky nic :-(

Offline

 

#18 25. 11. 2022 13:18

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Záměna řady a integrálu - ověření předpokladů

↑ 2M70:

zbývá ta sunstituce x=1/y


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson