Matematické Fórum

↑ laszky:Ahoj, jde mi v podstatě jen o tu limitu, která určí směrnici, tu tečnu si už pak dopočítám. V zadání jsem to špatně specifikoval, musí se od toho výrazu v limitě odečíst y0 a podělit x-x0

↑ Eratosthenes: Zadání úlohy je najděte tečnu v bodě x0 = [mathjax]\frac{\prod_{}^{}}{2}[/mathjax] když je funkce zadána tím výrazem [mathjax]y= \frac{sin2x+1}{cosx+sinx}[/mathjax]. Dopočítám si ten druhý bod y0, ktery je 1 a pak odtud pomocí klasického vzorce pro směrnici tečny jako limity počítám směrnici. A té se nemohu dobrat. Asi jsem to měl lépe specifikovat. Již je to jasné?

↑ Matejjjj: Nie, nie je to jasne. Ak chces najst dotycnicu k funkcii [mathjax] y=f(x)[/mathjax] v bode [mathjax]x_0[/mathjax], tak ti nijako nepomoze hladat [mathjax]\lim_{x \to x_0}f(x)[/mathjax]. Mimochodom, ak tato dotycnica existuje, tak funkcia musi byt v danom bode spojita, co znamena, ze uvedena limita sa rovna funkcnej hodnote, v nasom pripade 1.

↑ Eratosthenes:

Možno chcel napísať "vzorec" na deriváciu a nevydalo...

Tečna v bodě je lineární funkce, jejiž směrnice je rovna derivaci funkce v tomto bodě.

[mathjax]f\left(x\right)=\frac{\sin\left(2x\right)+1}{\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}[/mathjax]

[mathjax]g\left(x\right)=\frac{d}{dx}f\left(x\right)[/mathjax]

[mathjax]y=g\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot x[/mathjax]

Směrnice tečny je tedy opravdu -1.

Pro výpočet b si definujeme tečnu jako funkci t.
[mathjax]t\left(x\right)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot x+b[/mathjax]

Potřebujeme, aby nám tečna protla funkci f v bodě [mathjax]\frac{\pi}{2}[/mathjax], funkce v tomto bodě se tedy musí rovnat.
[mathjax]t\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)[/mathjax]

[mathjax]g\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{2}+b=f\left(\frac{\pi}{2}\right)[/mathjax]

[mathjax]b=f\left(\frac{\pi}{2}\right)-g\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{2}[/mathjax]

[mathjax]b=1+1\cdot\frac{\pi}{2}=1+\frac{\pi}{2}[/mathjax]

[mathjax]y=-x+1+\frac{\pi}{2}[/mathjax] Je naší hledanou tečnou.