Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 24. 01. 2023 18:45
Nelineární rovnice
Dobrý večer,
mám rozhodnout o počtu řešení rovnice[mathjax]2x^3=3\sqrt{3}(x^2-1)[/mathjax]. Převedl jsem si na jednu stranu a dostal[mathjax]f(x)=2x^3-3\sqrt{3}x^2+3\sqrt{3}[/mathjax]. Danou funkci jsem zderivoval a dostal jsem[mathjax]f'(x)=6x^2-3\sqrt{3}x=3x(2x-\sqrt{3})[/mathjax] a odsud nulové body [mathjax]0[/mathjax] a [mathjax]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mathjax]. Funkce je rostoucí na intervalu [mathjax](-\infty ,0)[/mathjax] a [mathjax](\frac{\sqrt{3}}{2},\infty )[/mathjax] a klesající na [mathjax](0,\frac{\sqrt{3}}{2})[/mathjax]. Daná rovnice má tedy dvě řešení? Je to tak?
Offline
#2 24. 01. 2023 19:05
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2584
- Reputace: 132
Re: Nelineární rovnice
↑ Matytus:
Ne. Určil jsi nulové body první derivace (ten druhý nevypadá úplně dobře), ale ty samy o sobě o počtu kořenů neříkají nic. Musíš určit počet nulovách bodů funkce f(x), nikoliv počet nulových bodů derivace f'(x)
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#3 24. 01. 2023 19:18
Re: Nelineární rovnice
↑ Eratosthenes:
Tak to bohužel nevím, jak na to. Tento typ úlohy vidím poprvé a dohledal jsem, že je možné řešit přes derivace.
Offline
#4 24. 01. 2023 20:42
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Nelineární rovnice
↑ Matytus:
Zkus si namalovat různé spojité funkce a v nich různé body s nulovými derivacemi. Zamysli se, zda se v bodě, kde je derivace nulová, musí vždy měnit funkce z rostoucí na klesající nebo naopak.
Zamysli se, co musí pro monotónní funkci na nějakém intervalu platit, aby měla na tomto intervalu kořen - znáš-li jen její hodnoty v krajních bodech tohoto intervalu.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 24. 01. 2023 20:43
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Nelineární rovnice
↑ Matytus:
A hlavně - když něco děláš tak se zamysli, proč je to právě tak. Někdy je dobré bezmyšlenkovitě následovat postup (např. je-li jeho vysvětlení extrémně složité), ale většinou je vždy lepší ten postup i chápat.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#6 24. 01. 2023 21:01
Re: Nelineární rovnice
↑ Matytus:S derivací to jde, ale musíš u jejích nulových bodů spočítat jejich y-ovou souřadnici a k tomu pak limity v nevlastních bodech (ve skutečnosti postačí jen jejich znaménka). Znaménka jsou postupně (tedy v bodech –oo, 0, sqrt(3) - tady máš špatně derivaci, +oo) mínus, plus, 0, plus a spolu se spojitostí dané funkce z toho plyne, že jeden nulový bod funkce je nalevo od nuly a pak je dvojnásobný kořen v té odmocnině ze tří.
Pokud ti to není jasné, načrtni si uvedené "body" do soustavy souřadnic a bude ti jasné, proč musí být kořeny tam, kde říkám.
Offline
#7 25. 01. 2023 09:46 — Editoval Matytus (25. 01. 2023 09:51)
Re: Nelineární rovnice
↑ surovec:
Dobrý den,
moc Vám děkuji za radu. Mám tedy derivaci funkce [mathjax]f'(x)=6x^2-6\sqrt{3}x=6x(x-\sqrt{3})[/mathjax]. Nulové body jsou [mathjax]0[/mathjax] a [mathjax]\sqrt{3}[/mathjax] a odtud body [mathjax][0,3\sqrt{3}][/mathjax] a [mathjax][\sqrt{3},0][/mathjax], dále [mathjax]\lim_{x\to-\infty }f(x)=-\infty [/mathjax] a [mathjax]\lim_{x\to\infty }f(x)=\infty [/mathjax].Jen se chci zeptat, jak poznám, že tam je dvojnásobný kořen?
Offline
#8 25. 01. 2023 11:48 — Editoval surovec (25. 01. 2023 11:51)
Re: Nelineární rovnice
↑ Matytus:Právě proto, že tam je derivace nulová. Pokud je tam extrém, tak tam splynou kořeny (dva, nebo čtyři, nebo šest...), které by jinak byly po obou stranách extrému, pokud je tam inflex, bude tam lichonásobný kořen. Zkus si představit, jak to vypadá, když budeš extrém (třeba lokální minimum) posouvat nad a pod osu x (co se děje s průsečíky s osou x?), obdobně ten inflex.
Offline