Matematické Fórum

↑ Richard Tuček: předpokládáte správně E reálná a C kompletní čísla. Bylo by i nějaké odůvodnění? :)

↑ Ostetina:
Nebo např. vezmu číslo i, vynásobím ho číslem i jednou, dvakrát,... a teprve až když to udělám čtyřikrát tak dostanu opět původní číslo -  i. To se mi s žádným reálným číslem nestane.

Pozdravujem ↑ Ostetina:,
Co si myslis o tomto:
Predpokladajme, ze $\phi :{\mathbb{C}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$
je izomorfismus tvojich group.
Potom $\phi (1)=1$, $\phi (j)$ a $\phi (j^2)$ su tri rozclicne realne cisla ktorych tretia mocnina je 1.

Je to mozne??? Alebo je to nemozne?

Izomorfní grupy jsou vlastně stejnou grupou s jinak označenými prvky. Proto každému prvku jedné grupy můžeme přiřadit nějaký prvek druhé grupy. Vzor i obraz musí mít stejné vlastnosti, neboˇje to ten stejný prvek možná jen jinak označený. Takové přiřazení je právě "izomorfismus". Definici izomorfismu najdete v učebnicích.
A teď si všimneme, že prvek s nějakými vlastnostmi je v jedné grupě a v druhé grupě žádný prvek takové vlastnosti nemá (třeba řád prvku). Mohou grupy být izomorfní?

petrkovar napsal(a):

Izomorfní grupy jsou vlastně stejnou grupou s jinak označenými prvky. Proto každému prvku jedné grupy můžeme přiřadit nějaký prvek druhé grupy. Vzor i obraz musí mít stejné vlastnosti, neboˇje to ten stejný prvek možná jen jinak označený. Takové přiřazení je právě "izomorfismus". Definici izomorfismu najdete v učebnicích.
A teď si všimneme, že prvek s nějakými vlastnostmi je v jedné grupě a v druhé grupě žádný prvek takové vlastnosti nemá (třeba řád prvku). Mohou grupy být izomorfní?

Tohle já vcelku chápu, uniká mi spíše tohle:

Zatímco nenulová reálná s operací násobení čísla mají pouze dva prvky konečného řádu 1 a -1, tak komplexní čísla mají prvky libovolného konečného řádu.

Jestliže řád prvku $a$ v grupě $(G,·)$ je nejmenší přirozené číslo $n$ takové,že $a^n=e$, tak bych předpokládal, ...

...teď při psaní mi to asi secvaklo. Uvažoval jsem totiž, že každý prvek v dané grupě je přece řádu $0$, jenže ona nula není přirozené číslo, tudíž chybný předpoklad. A Vaše věta je napsána tak, že se dá vyložit více způsoby, ale znamená tedy, že 1 a -1 jsou těmi prvky, přičemž 1 je řádu 1, zatímco -1 je řádu 2. Žádné další číslo nelze umocňováním převést na jedničku.

Komplexní čísla jsem se nikdy ve škole neučil, ač mám za sebou gymnázium, vím jen pár základů, co jsem kde pochytil. Jak se dostanu k tomu libovolnému konečnému řádu prvku? Jednička, brána jako komplexní číslo, je řádu 1. $-1$ je řádu 2, $i$ je řádu 4 a $-i$ je také řádu 4(?). Bylo to napsáno jen tak vzletně, jakože jsou tam ještě 2 prvky navíc s řádem 4, nebo je tam těch prvků a konečných řádů opravdu ještě více?

Mockrát děkuji!

vanok napsal(a):

Pozdravujem ↑ petrkovar:

Pridavam malu poznamku pre ↑ otula:
Vieme, ze v  komplexnej grupe j je  radu 3,

Tady narážíš na mou neznalost komplexních čísel, ale už mi asi dochází i to, na co se ptám výše Petra Kováře. To zmíněné j a případná další čísla s různými řády jsou čísla, která se nacházejí na "jednotkové kružnici", pokud se to tak dá nazvat, která prochází $1,i,-1,-i$, pokud to tedy je kružnice, ale asi chápeš, co chci říct. Je to tak?

Eratosthenes napsal(a):

↑ otula:

Je velmi smutné, že se dnes komplexní čísla neučí ani na gymníziu. Nezávidím izomorfizmy grup C apod....

Ehm, nevím, co se dnes učí na gymnáziu, já jsem maturoval před více než 30 lety ;-) A tehdy to určitě v učebnicích nebylo (a to byly jednotné pro celou ČSSR). Jezdíval jsem tehdy ale v pátek odpoledne do Brna na Univerzitu J. E. Purkyně (dnešní Masaryčka), kde pro nás pořádali tzv. Univerzitu mládeže, kde jsem se na jedné z přednášek o existenci komplexních čísel dozvěděl, ale jen tolik, že se mínus jedna dá odmocnit, že to číslo i je jednička na ose ypsilon. A také jsem se tam naučil základy matic za jejichž používání mě potom matikářka na gymplu nenáviděla a mstila se mi za to. Přitom dnes se na vysoké bere jako samozřejmost, že komplexní čísla a matice umíš...

↑ Eratosthenes:

Na českých gymnáziích se komplexní čísla stále učí. Navíc jsou i v požadavcích pro Matematiku+ .

↑ otula: Ano, ale nielen. Moivreova veta je takisto uzitocna vec.

↑ otula:Ano, přesně tak. Všechna komplexní čísla konečného řádu mají velikost 1 a leží proto na jednotkové kružnici. (Ale opačná implikace neplatí, ne všecha čísla na jednotkové kružnici jsou konečného řádu.)
Doporučuji podívat se na Moivreovu větu, zejména na n-té odmocniny z čísla 1. Tato čísla leží na jednotkové kružnici a pokud je koeficient ( na wikistránce je označený k) u násobku úhlu (neboli mocnina té odmocniny, která má nejmenší nenulový argument) nesoudělný s n, tak je taková n-tá odmocnina čísla 1 řádu n v grupě (C,*).
A tyto úvahy nám ukazují, že (R,*) není izomorfní s (C,*), neboť prvky s takovými řády v R nenajdeme.

Mimochodem tento příklad jsem zrovna tento týden přidal do skript do kapitoly o izomorfismu. při další aktualizaci se objeví na webu.

↑ otula:

Ještě jinak: umocňuj jako dvojčlen $(a+b{)}^2$ a jediné, co musíě vědět je $i^2=-1$:

$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i{)}^2=...$

a znovu na druhou....

a znovu....

anebo

$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i{)}^2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i{)}^2=...$

a znovu

...$\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i{)}^2=...$

a znovu

...$\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i{)}^2=...$

Pomeranc napsal(a):

↑ Eratosthenes:

Na českých gymnáziích se komplexní čísla stále učí. Navíc jsou i v požadavcích pro Matematiku+ .

Ahoj, co je to Matematika+?