Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 26. 02. 2023 23:22

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

Když uděláme modulo 11, tak levá strana dává možné hodnoty jen 8, 6 nebo 7, zatímco pravá (m^2) může být 0, 1, 4, 9, 5, 3, takže se to nemůže nikdy rovnat.

Offline

 

#27 26. 02. 2023 23:23 — Editoval MichalAld (26. 02. 2023 23:25)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

PS: na tu jedenáctku jsem přišel sám (jen s pomocí excelu), na řešení jsem koukl až potom.

Je to hezký trik.

Offline

 

#28 28. 02. 2023 22:46

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

↑↑ vanok:
Ještě jsem taky narazil na nějakou Čínskou větu o zbytcích ... na to nemáš nějaký příklad, ze kterého by se to dalo pochopit?

Offline

 

#29 28. 02. 2023 22:51 — Editoval vanok (01. 03. 2023 18:12)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Cvicenie 4)
Pre ake prirodzene n, je [mathjax]2^n+ 12^n+ 2014^n [/mathjax] druha mocnina celeho cisla. 
c
Hint 2: mozte zacat studovat dany vyraz mod 3 a potom……


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#30 28. 02. 2023 23:00

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Tu https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem    sa mozes o tom poucit. 
A zajtra dam na tu temu jedno cvicenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#31 01. 03. 2023 08:01

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:

No, 12^n mod 3 je vždy 0, a 2014^n mod 3 je vždy jedna.
2^n mod 3 je 1 pro sudé n a 2 pro liché n.
x^2 mod 3 je buď 0 nebo 1.

Takže pro sudé n to nemůžeme splnit nikdy, pro liché n to vyloučit nejde.
Dál jsem se zatím nedostal...

Offline

 

#32 01. 03. 2023 12:27

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Pomalicky zacinas byt expert na taketo ulohy.
Vysetritl si dokonale dany vyraz mod 3. 
Tiez si konstatoval, ze stvorec mod 3 nie je nikdy 2. 
A tak ako pises, staci sa zaujimat  iba o neparne cislo. 
Hint 2:
No tat vyuzi to na vysetrenie daneho vyrazu mod 7. 

Dobre pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#33 01. 03. 2023 15:32

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

No mě teda vychází, že x^2 mod 7 může vyjít 0, 1, 2, 4, to je asi jasné.

A ten původní výraz mi vychází, že mod 7 může vyjít jen 3, 5 nebo 6, takže by to nemělo mít řešení.

Ale nevím, jestli to mám dobře, to 2014 jsem rozložil na 2x19x53 a využil toho, že (doufám, že to platí)
(a x b x c) mod 7 = (a mod 7   x    b mod 7   x   c mod 7) mod 7.

Offline

 

#34 01. 03. 2023 18:09 — Editoval vanok (01. 03. 2023 18:10)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
V tomto vlakne predpokladam, ze vlasnosti struktur ( ako [mathjax]\mathbb{Z}_N[/mathjax] ) tykajuce sa teorie cisiel su dobre zname.
Tak dany vyraz sa da napisat Mod 7, takto [mathjax]2^n+(-2)^n+ 5^n[/mathjax] a mame
[mathjax]2^n+(-2)^n+ 5^n\equiv 5^n [/mathjax] (mod 7).
Vdaka tomu sa potom da lepsie komunikovat.

A pochopitelne, vlasnosti, ktore si pouzil su platne, i ked si ich nemusel pouzit….


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#35 01. 03. 2023 21:00

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

vanok napsal(a):

Tak dany vyraz sa da napisat Mod 7, takto [mathjax]2^n+(-2)^n+ 5^n[/mathjax] a mame
[mathjax]2^n+(-2)^n+ 5^n\equiv 5^n [/mathjax] (mod 7).

ehm... na to se přišlo jak?

Offline

 

#36 01. 03. 2023 22:00 — Editoval vanok (02. 03. 2023 14:45)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
To je iba pouzitie definicie:
[mathjax]12\equiv 5\equiv -2[/mathjax] Mod 7
[mathjax]2014\equiv 5\[/mathjax] Mod 7.  ( delis cislom 7 a napises zvysok ktory je 5 )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#37 02. 03. 2023 04:49 — Editoval vanok (02. 03. 2023 08:15)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Ako si navrhol v #28 a po precitani odhazu v #29 skus vyriesit

Cvicenie 5)

Vyrieste v [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax] tento system
[mathjax]3x\equiv 1[/mathjax] (mod 5)
[mathjax]5x \equiv 2[/mathjax] (mod 7)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#38 02. 03. 2023 22:21

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

3x + 5ax = 1 (mod 5)
5x + 7bx = 2 (mod 7)

3 + 5a = 5 + 7b

a = (2 + 7b)/5 => b=4, a = 6

3x + 30x = 1 (mod 5)
5x + 28x = 2 (mod 7)

33x = 1 (mod 5)
33x = 2 (mod 7)

y = 1 (mod 5)
y = 2 (mod 7)

podle té čínské věty o zbytcích by mělo být y v rozsahu 0-35. Nevím, jestli to lze nějak elegantně najít, ale první rovnici splňují čísla 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31
a druhou z toho splňuje číslo 16. Takže řešení je y=16 (mod 35)

Musíme najít takové y = N*35 + 16 aby šel dělit 33, to bude trochu problém...

Já vlastně nevím, jak se tohle dá elegantně řešit, ta rovnice typu

35n + 16 = 0 (mod 33)
2n + 16 = 0 (mod 33)
2n = 17 (mod 33)
n = 25

pak ted = 25*35+16 = 891
x = y/33 = 27

Řešení původní rovnice je tedy x=27, ale předpokládám, že to jde i nějak elegantněji.

Offline

 

#39 02. 03. 2023 23:50 — Editoval vanok (03. 03. 2023 00:07)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

[mathjax]3x\equiv 1[/mathjax]↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Tvoja metoda funguje a nasiel si riesenie.

Inac, mohol si konstatovat, ze
[mathjax]\mathbb{Z}_5[/mathjax] a [mathjax]\mathbb{Z}_7[/mathjax] su telesa.
V prvom inverze prvku 3 je 2 a v druhom inverze prvku 5 je 3.
[mathjax]x\equiv 2[/mathjax] (mod 5)
[mathjax]x\equiv 6[/mathjax]  (mod 7).      (Tu som vynasobil prvu rovnicu z #37 prvkom 2 a druhu prvkom 3).
Co nam da riesenie x=2x7x3+ 6x5x3=132[mathjax]\equiv 27[/mathjax](mod 35)
( vysvetlenie najdes v citani co som ti doporucil v prispevku #30).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#40 03. 03. 2023 06:58

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:

Ještě se na to podívám, neboj. Je to pro mě nové, takže nemám žádný nadhled, jak by se k tomu mělo přistupovat.



Existuje mmch nějaký jednoduchý způsob jak řešit rovnici typu

[mathjax]5x + 7 = 3y[/mathjax]

což teda předpokládám odpovídá

[mathjax]5x + 7 \equiv  0 (mod 3)[/mathjax]

Offline

 

#41 03. 03. 2023 10:22

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Mala myslienka ktoru iste dokazes vyuzit.
5x1+3x0=5 (1)
5x0+3x1=3 (2)
(x pisem pre nasobenie)
Chcem nast  a, b pre 5xa+3xb=1  , co je Bézout-ova relacia,  o vyjadruje ze 5 a 3 su nesudelitelne )
2(1)-3(2)
Da 5x2 - 3x3 = 5x2-3x3=1

(Poviies iste ze som to uhadol….no tu operaciu mozes organizovat tak ze vyuzijes Euclid-ov algoritmis na delenie…. )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#42 03. 03. 2023 10:28 — Editoval Bati (03. 03. 2023 10:29)

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Existuje. Obecne se dost hodi znat Eukliduv algoritmus (rozsireny). Priklad:

83   1    0
47   0    1
36   1   -1
11  -1    2
3     4   -7
2    -13  23
1     17 -30

z cehoz plyne, ze 17*83 - 30*47 = 1. Na zbytek prijdes sam.


Edit: pozde, ale priklad s dovolenim necham

Offline

 

#43 05. 03. 2023 10:02

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

Tak Euklidův algoritmus (ten základní už jsem nějak pochopil), ale dál asi až po prázdninách (tj. za týden).

Offline

 

#44 10. 03. 2023 11:09

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
K cviceniam ako cvicenie 5) sa vratim neskor.
Teraz mozes skusit
cvucenie 6)
Ma tato diofanticka rovnica [mathjax]19^{19}=x^3+y^4[/mathjax] riesenie ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#45 12. 03. 2023 15:47 — Editoval vanok (13. 03. 2023 18:38)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Pozdravujem.
Hint na cvicenie 6)

Mozte pouzit take p, (prvocislo), ze [mathjax]p\equiv 1 , ( mod 3)[/mathjax] a [mathjax]p\equiv 1 , ( mod 4)[/mathjax]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#46 15. 03. 2023 10:43 — Editoval vanok (15. 03. 2023 10:45)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Kontrola


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#47 15. 03. 2023 18:42

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4949
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

Já zatím přemýšlím, jak se spočítá to [mathjax]19^{19}[/mathjax] mod něco. Na ten zbytek bych tak nějak přišel.

Offline

 

#48 15. 03. 2023 19:11

check_drummer
Příspěvky: 4709
Reputace:   103 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Ahoj, záleží mod co. Ale pomůže třeba Malá Fermatova věta nebo její zobecnění - Eulerova věta.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#49 15. 03. 2023 23:34 — Editoval vanok (15. 03. 2023 23:35)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Mozes zacat napriklad takto [mathjax]19^{19}\equiv 6^{12}6^7 …(mod 13)[/mathjax]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#50 20. 03. 2023 11:17 — Editoval vanok (20. 03. 2023 11:18)

vanok
Příspěvky: 14518
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Uz si ukoncil ↑ vanok: ?
Mozme pokracovat?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson