Matematické Fórum

Když uděláme modulo 11, tak levá strana dává možné hodnoty jen 8, 6 nebo 7, zatímco pravá (m^2) může být 0, 1, 4, 9, 5, 3, takže se to nemůže nikdy rovnat.

↑↑ vanok:
Ještě jsem taky narazil na nějakou Čínskou větu o zbytcích ... na to nemáš nějaký příklad, ze kterého by se to dalo pochopit?

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Tu https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem    sa mozes o tom poucit. 
A zajtra dam na tu temu jedno cvicenie.

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Pomalicky zacinas byt expert na taketo ulohy.
Vysetritl si dokonale dany vyraz mod 3. 
Tiez si konstatoval, ze stvorec mod 3 nie je nikdy 2. 
A tak ako pises, staci sa zaujimat  iba o neparne cislo. 
Hint 2:
No tat vyuzi to na vysetrenie daneho vyrazu mod 7. 

Dobre pokracovanie.

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
V tomto vlakne predpokladam, ze vlasnosti struktur ( ako ${\mathbb{Z}}_N$ ) tykajuce sa teorie cisiel su dobre zname.
Tak dany vyraz sa da napisat Mod 7, takto $2^n+(-2{)}^n+5^n$ a mame
$2^n+(-2{)}^n+5^n\equiv 5^n$ (mod 7).
Vdaka tomu sa potom da lepsie komunikovat.

A pochopitelne, vlasnosti, ktore si pouzil su platne, i ked si ich nemusel pouzit….

↑ MichalAld:
To je iba pouzitie definicie:
$12\equiv 5\equiv -2$ Mod 7
[mathjax]2014\equiv 5\[/mathjax] Mod 7.  ( delis cislom 7 a napises zvysok ktory je 5 )

3x + 5ax = 1 (mod 5)
5x + 7bx = 2 (mod 7)

3 + 5a = 5 + 7b

a = (2 + 7b)/5 => b=4, a = 6

3x + 30x = 1 (mod 5)
5x + 28x = 2 (mod 7)

33x = 1 (mod 5)
33x = 2 (mod 7)

y = 1 (mod 5)
y = 2 (mod 7)

podle té čínské věty o zbytcích by mělo být y v rozsahu 0-35. Nevím, jestli to lze nějak elegantně najít, ale první rovnici splňují čísla 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31
a druhou z toho splňuje číslo 16. Takže řešení je y=16 (mod 35)

Musíme najít takové y = N*35 + 16 aby šel dělit 33, to bude trochu problém...

Já vlastně nevím, jak se tohle dá elegantně řešit, ta rovnice typu

35n + 16 = 0 (mod 33)
2n + 16 = 0 (mod 33)
2n = 17 (mod 33)
n = 25

pak ted = 25*35+16 = 891
x = y/33 = 27

Řešení původní rovnice je tedy x=27, ale předpokládám, že to jde i nějak elegantněji.

↑ vanok:

Ještě se na to podívám, neboj. Je to pro mě nové, takže nemám žádný nadhled, jak by se k tomu mělo přistupovat.



Existuje mmch nějaký jednoduchý způsob jak řešit rovnici typu

$5x+7=3y$

což teda předpokládám odpovídá

$5x+7\equiv 0(mod3)$

↑ MichalAld:
Existuje. Obecne se dost hodi znat Eukliduv algoritmus (rozsireny). Priklad:

83   1    0
47   0    1
36   1   -1
11  -1    2
3     4   -7
2    -13  23
1     17 -30

z cehoz plyne, ze 17*83 - 30*47 = 1. Na zbytek prijdes sam.


Edit: pozde, ale priklad s dovolenim necham

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
K cviceniam ako cvicenie 5) sa vratim neskor.
Teraz mozes skusit
cvucenie 6)
Ma tato diofanticka rovnica ${19}^{19}=x^3+y^4$ riesenie ?

Kontrola

↑ MichalAld:
Ahoj, záleží mod co. Ale pomůže třeba Malá Fermatova věta nebo její zobecnění - Eulerova věta.

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Uz si ukoncil ↑ vanok: ?
Mozme pokracovat?