Matematické Fórum

Prosím, pomozte mi, mám pravdu?

Prostor Z_{5}^{3} se skládá ze všech možných posloupností
délky 3, jejíž prvky patří do množiny {0, 1, 2, 3, 4}.

K určení počtu lineárně nezávislých
sekvencí v tomto prostoru, můžeme použít metodu
hrubou silou a iterujte přes všechny možné kombinace sekvencí.

Celkem je v Z5^3 5 * 5 * 5 = 125 různých sekvencí.
Nyní můžeme určit, která z těchto sekvencí
jsou lineárně nezávislé. K tomu můžeme použít Gaussovu metodu a
převést matici těchto sekvencí do stupňovité formy.

Počet lineárně nezávislých sekvencí bude
odpovídají počtu kroků v matici kroků.

Abychom však mohli tuto metodu provést, musíme každou reprezentovat
sekvence jako řádek matice. Každý prvek
posloupnost lze považovat za koeficient dříve
odpovídající proměnná v soustavě lineárních rovnic.

Uvažujme například následující matici sekvencí
délka 3 v Z5:
| 1 2 3 | | 4 0 1 | | 3 2 2 | | 0 0 0 | | 0 0 0 |
Zde se sekvence zapisují jako řetězce a nulové řetězce
přidán tak, aby byla matice obdélníková.

Aplikováním Gaussovy metody na tuto matici dostaneme následující
kroková matice:
| 1 2 3 | | 0 3 2 | | 0 0 3 | | 0 0 0 | | 0 0 0 |
Počet kroků v této matici je 3, což znamená, že
v Z5^3 jsou 3 lineárně nezávislé sekvence.
Takže odpověď na otázku je 3.