Matematické Fórum

Chavier

Ahojte,
ako ukážem že $lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[2]{n}} = 0$ ?

Rozmýšlal som o tom, že rozdelim výraz na 2 členy (rozdelim postupnošt na dve):

$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{\sqrt{n}}{1} \cdot \frac{1}{n}$

A teraz mi stačí ukázať, že limita súčinu sa rovná súčinu limít.
Avšak nie som si istý, či nie su podmienky. Jedna z limít musí byť rovná nule, aby som mohol limitu súčinu rozdeliť na súčin limit. Avšak to práve chcem využiť.

Jednoducho chcem toto zrobiť:
$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{n} = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{1} \cdot \frac{1}{n} = (lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{1}) \cdot lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} = (lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{1}) \cdot 0 = 0$

Teda ak chcem dokázať, že $lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ , nemôžem použiť hore uvedený postup, lebo ak chcem rozdeliť limitu súčinu na súčin limít, tak musím využiť vzťah: $lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ . A to chcem práve dokázať.

vlado_bb · 08. 04. 2023 05:39

↑ Chavier: Tvoj postup nevedia k cielu, pretoze prva z tych limit v sucine nie je vlastna. Ale pojde to priamo z definicie limity.

Chavier

↑ vlado_bb: Ja by som to riešil takto (priamo z definície)

Definícia: postupnosť ${a_{n}}$ konverguje k reálnemu číslo a, ak pre každé $ε > 0$ existuje $n_{0} \in N$ také, že pre všetky $n \geq n_{0}$ je $| a_{n} - a | < ε$ .

Takže najprv nájdem aké musia byť $"n-ká"$ :

$| \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 | < ε$
$\frac{1}{\sqrt{n}} < ε$
$n > \frac{1}{ε^{2}}$

Teda $n_{0}$ má byť takéto: $n_{0} > \frac{1}{ε^{2}}$ a všetky n-ká
majú byť väčšie alebo rovné $n_{0}$ .

Teraz ukážem, že že $| a_{n} - a | < ε$ .
Nech je $ε > 0$ a nech platí že $n > \frac{1}{ε^{2}}$ .

Po dosadení dostávame:
$| \frac{1}{ε^{2}} - 0 | = | \frac{1}{\sqrt{n}} | = \frac{1}{\sqrt{n}}$

Vieme povedať že:
$\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{ε^{2}}}}$
A teda:

$\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{ε^{2}}}} = ε$

vlado_bb · 09. 04. 2023 11:26

Chavier napsal(a):
↑ vlado_bb: Ja by som to riešil takto (priamo z definície)

Definícia: postupnosť ${a_{n}}$ konverguje k reálnemu číslo a, ak pre každé $ε > 0$ existuje $n_{0} \in N$ také, že pre všetky $n \geq n_{0}$ je $| a_{n} - a | < ε$ .

Takže najprv nájdem aké musia byť $"n-ká"$ :

$| \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 | < ε$
$\frac{1}{\sqrt{n}} < ε$
$n > \frac{1}{ε^{2}}$

Teda $n_{0}$ má byť takéto: $n_{0} > \frac{1}{ε^{2}}$ XXXXXX a všetky n-ká
majú byť väčšie alebo rovné $n_{0}$ .

Teraz ukážem, že že $| a_{n} - a | < ε$ .
Nech je $ε > 0$ a nech platí že $n > \frac{1}{ε^{2}}$ .

Po dosadení dostávame:
$| \frac{1}{ε^{2}} - 0 | = | \frac{1}{\sqrt{n}} | = \frac{1}{\sqrt{n}}$

Vieme povedať že:
$\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{ε^{2}}}}$
A teda:

$\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{ε^{2}}}} = ε$

Dokaz by som skoncil na mieste XXXXXX, kde by som este dopisal "a pre kazde kladne epsilon taketo n_0 existuje."

Chavier · 09. 04. 2023 13:08

↑ vlado_bb: ďakujem

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2023 22:25 — Editoval Chavier (07. 04. 2023 22:29)

Limita postupnosti - prevrata odmocniny

#2 08. 04. 2023 05:39

Re: Limita postupnosti - prevrata odmocniny

#3 08. 04. 2023 21:52 — Editoval Chavier (08. 04. 2023 21:56)

Re: Limita postupnosti - prevrata odmocniny

#4 09. 04. 2023 11:26

Re: Limita postupnosti - prevrata odmocniny

Chavier napsal(a):

#5 09. 04. 2023 13:08

Re: Limita postupnosti - prevrata odmocniny

Zápatí