Matematické Fórum

↑ Chavier: Tvoj postup nevedia k cielu, pretoze prva z tych limit v sucine nie je vlastna. Ale pojde to priamo z definicie limity.

Chavier napsal(a):

↑ vlado_bb: Ja by som to riešil takto (priamo z definície)

Definícia: postupnosť [mathjax]\{a_n\}[/mathjax] konverguje k reálnemu číslo a, ak pre každé [mathjax]\varepsilon > 0[/mathjax] existuje [mathjax]n_0 \in \mathbb{N}[/mathjax] také, že pre všetky [mathjax]n\ge n_0[/mathjax] je [mathjax]|a_n-a|<\varepsilon [/mathjax].

Takže najprv nájdem aké musia byť [mathjax]\text{"n-ká"}[/mathjax]:

[mathjax]|\frac{1}{\sqrt{n}}-0|<\varepsilon [/mathjax]
[mathjax]\frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon [/mathjax]
[mathjax]n>\frac{1}{\varepsilon ^{2}}[/mathjax]

Teda [mathjax]n_0[/mathjax] má byť takéto: [mathjax]n_0>\frac{1}{\varepsilon ^{2}}[/mathjax] XXXXXX a všetky n-ká
majú byť väčšie alebo rovné [mathjax]n_0[/mathjax].

Teraz ukážem, že že [mathjax]|a_n-a|<\varepsilon [/mathjax].
Nech je [mathjax]\varepsilon >0 [/mathjax] a nech platí že  [mathjax]n > \frac{1}{\varepsilon ^{2}}[/mathjax].

Po dosadení dostávame:
[mathjax]|\frac{1}{\varepsilon ^{2}}-0| = |\frac{1}{\sqrt{n}}|=\frac{1}{\sqrt{n}}
[/mathjax]

Vieme povedať že:
[mathjax]\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\varepsilon ^{2}}}}
[/mathjax]
A teda:

[mathjax]\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\varepsilon ^{2}}}}=\varepsilon
[/mathjax]

Dokaz by som skoncil na mieste XXXXXX, kde by som este dopisal "a pre kazde kladne epsilon taketo n_0 existuje."