Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 08. 04. 2023 14:59 — Editoval Prokop Ohlídal (08. 04. 2023 15:04)
- Prokop Ohlídal
- Příspěvky: 26
- Pozice: Student
- Reputace: 1
Deskový kondenzátor v kapalině
Zdravím, mám menší problém s jednou úlohou do elektřiny a magnetismu, která zní:
Uvažujte deskový kondenzátor (vzdálenost desek [mathjax]d[/mathjax]) o tvaru čtverce s délkou hrany [mathjax]a[/mathjax] částečně ponořený do kapaliny o hustotě [mathjax]\varrho [/mathjax] a relativní permitivitě [mathjax]\varepsilon_r[/mathjax]. Určete, jak vysoko vystoupá hladina kapaliny, je-li kondenzátor připojen na zdroj elektromotorického napětí [mathjax]\varepsilon [/mathjax]. Zanedbejte vliv povrchového napětí kapaliny.
Viděl jsem řešení na internetu, takže mi ani tak nejde o matematickou stránku příkladu, která není tak složitá, jako spíš o to, od čeho se vůbec odpíchnout a jak rovnice sestavit.
Mohl by mi někdo pomoct vysvětlit, jak by tohle začal počítat?
Předem díky.
PS. koukám, že jsem to omylem přidal do matematiky, tak se omlouvám
Offline
#2 11. 04. 2023 19:20
Re: Deskový kondenzátor v kapalině
To je docela zajímavý příklad.
No - já bych na to šel skrze energii. Ale nevím, jestli to povede k cíli, a úplně se mi to teď počítat nechce. Ale energie kondenzátoru připojeného na napětí je [mathjax]E = \frac{1}{2}CU^2[/mathjax], a ta kapacita závisí na permitivitě. Takže by měla nějak jít vyjádřit závislost energie na tom, do jaké výšky zasahuje ta kapalina (co má vyšší permitivitu). Jen tu kapacitu musíme počítat jako součt dvou kapacit - toho "zaplaveného" kondenzátoru a toho vzduchového.
No a pak si zase můžeme vyjádřit energii potřebnou k vyzdvižení té kapaliny nad hladinu. Základem je samozřejmě vztah [mathjax]E = mgh[/mathjax] ale musíme vzít v úvahu, že nezvedáme těleso o konstantní váze, nýbrž nasáváme kapalinu, takže ta celková hmotnost bude růst taky. Případně teda (pokud umíš integrovat) můžeš vyjádřit potenciální energii celkového sloupce kapaliny tím, že to rozdělíš na elementy podle výšky h a zintegruješ.
No - intuice říká, že energie vodního sloupce poroste s výškou rychleji než lineárně (takže asi kvadraticky) a energie kondenzátoru je přímo úměrná jeho kapacitě - což nejspíš povede na lineární závislost na výšce té kapaliny. Takže by tam měl nastat nějaký rovnovážný stav.
Odpověď na otázku, co vlastně vtahuje kapalinu mezi desky kondenzátoru - je třeba hledat v elektrostatické indukci. Ale dopočítat se přímo síly bude podle mě extrémně komplikované. Protože přímo mezi deskami kondenzátoru, kde je homogenní el. pole už na molekulu dielektrika žádná síla nepůsobí. Síla působí akorát na kraji toho kondenzátoru, tam, kde pole homogenní není, kde je nějaký "gradient pole". Ani nevím přesně, jak se tenhle "gradient" jmenuje, nejspíš je to nějaký tenzor. Ale ať je to složité jak chce, zákon zachování energie to musí splňovat.
Offline
#3 17. 04. 2023 00:32
Re: Deskový kondenzátor v kapalině
↑ Prokop Ohlídal:
Ako naznačil Michal, rovnica, z ktorej sa bude dať vypočítať výška hladiny kvapaliny, sa zostaví porovnaním energetickej bilancie všetkých dejov, ktoré prebehnú pri vložení kvapalinového stĺpca výšky [mathjax]h[/mathjax] do nabitého kondenzátora. Fyzika:
1. Ak označíme [mathjax]C_{0}[/mathjax] kapacitu kondenzátora, v ktorom sa ešte kvapalina nenachádza, pripojenie k zdroju napätia veľkosti [mathjax]U[/mathjax] vytvorí na doskách kondenzátora náboj [mathjax]Q_{0}=C_{0}\cdot U[/mathjax]. Energia elektrického poľa kondenzátoru bude mať v tomto prípade veľkosť [mathjax]E_{0} = \frac{1}{2}C_{0}\cdot U^2[/mathjax]
2. Ak do kondenzátora vložíme dielektrikum s relatívnou premitivitou [mathjax]\varepsilon_r[/mathjax], zväčší sa jeho kapacita na hodnotu [mathjax]C_{1}=C_{0}\cdot \varepsilon_r[/mathjax]. Tým pádom teraz bude na doskách kondenzátora náboj [mathjax]Q_{1}=C_{1}\cdot U[/mathjax] a energia el. poľa kondenzátoru bude mať hodnotu [mathjax]E_{1} = \frac{1}{2}C_{1}\cdot U^2[/mathjax]. Po vložení dielektrika sa teda zväčšili:
a) kapacita kondenzátoru o [mathjax]\Delta C=C_{1}-C_{0}[/mathjax]
b) náboj na doskách kondenzátora a hodnotu [mathjax]\Delta Q=Q_{1}-Q_{0}[/mathjax]
c) energia elektrického poľa kondenzátoru o hodnotu [mathjax]\Delta E=E_{1}-E_{0}=\frac{1}{2}\Delta C\cdot U^2[/mathjax]
3. Na to, aby sa na dosky kondenzátora pri vloženom dielektriku presunul dodatočný náboj veľkosti [mathjax]\Delta Q[/mathjax], vykonal zdroj elektrického napätia prácu [mathjax]W=\Delta Q \cdot U[/mathjax]. Keďže platí [mathjax]\Delta Q=\Delta C\cdot U[/mathjax], práca zdroja elektromotorického napätia je [mathjax]W=\Delta C\cdot U^2[/mathjax], čo je dvojnásobok hodnoty, o ktorú stúpla elektrická energia kondenzátoru. Rozdiel medzi množstvom energie, ktorú dodal zdroj elm. napätia, a hodnotou, o ktorú sa zvýšila energia kondenzátoru, je kladný, z čoho vidno, že elektrické sily konali prácu pri vkladaní dielektrika medzi dosky kondenzátoru (t.j. dielektrikum bolo elektrickými silami "vťahované" medzi dosky). V našom prípade sa táto práca prejaví zvýšením potenciálnej energie stĺpca kvapaliny medzi doskami kondenzátoru na hodnotu [mathjax]E_{p}=mgh[/mathjax], kde [mathjax]m[/mathjax] je hmotnosť kvapalinového stĺpca a [mathjax]h[/mathjax] je jeho výška.
4. Rovnica, z ktorej sa bude dať vypočítať výška hladiny kvapaliny medzi doskami kondenzátoru, bude teda zákonom zachovania energie v tvare: Práca vykonaná zdrojom elm. napätia sa prejaví jednak zvýšením energie el. poľa kondenzátoru, jednak zdvihnutím kvapalinového stĺpca medzi doskami kondenzátoru do výšky [mathjax]h[/mathjax]:[mathjax2]W=\Delta E + E_{p}[/mathjax2]
Zvyšok je viac-menej matika.
Offline