Matematické Fórum

↑ osman:
Slyšel jsem, že je pouze jedna dvojice [3;2], 2^3 - 3^2 =8-9=-1
Jiné prý nejsou, ale dokázat to neumím. Není to jednoduché.

↑ osman:
Podle mě jsem viděl jednodušší důkaz, ale už nevím.
Takže je povoleno při hledání tvaru množiny M použít Mihăilescuovu větu?

↑ osman:
Spíš mi šlo o to, která tvrzení lze použít bez důkazu. Protože kdybych si někde na internetu našel, jaké prvky patří do M a napsal to sem, tak by to asi nebylo uznatelné.

↑ check_drummer:
"Spíš mi šlo o to, která tvrzení lze použít bez důkazu. Protože kdybych si někde na internetu našel, jaké prvky patří do M a napsal to sem, tak by to asi nebylo uznatelné."
Myslel jsem tím, že k podpoře důkazu lze použít již dokázané věty kromě té, jejíž výsledkem je přímo množina M:-)

Pozn.:
Úlohu jsem řešil na jednom fóru. Když jsem se zasekl na Catalinově domněnce, kdosi mě upozornil, že je to dávno dokázané...
Co se týče jednoduchosti důkazu, jeden účastník to dokazoval ještě divočeji pomocí Mersennových prvočísel a posloupnosti intervalů:-)

↑ osman:
A nemáš teda příklad několik prvků množiny M? - řekněme mezi čísly 1 a 1000? Podle mě není žádná velká rada když to sem napíšeš, každý kdo není líný (já jsem) si na to může snadno napsat program.... A podvod to určitě není...

↑ osman:
Pozdravujem,
Kukni si aj toto
https://www.google.fr/url?sa=t&rct= … EA4auOa8P4

osman napsal(a):

↑ check_drummer:
2,3,4,5,8,9
Zkus najít sedmý prvek

Do 20 se nadaří... Skoro to vypadá, že už další není?....

↑ vanok:
Pěkné. Je to tak jednoduché, že je to až nezajímavé. :-) Ale je na tom krásně vidět že i pomocí jednoduchých úvah lze získat netriviální tvrzení.

Já si to ale možná pletu s jinou úlohou - kdy rozdíl nějakých dvou (alespoň druhých) mocnin je 2. Jedno řešení je 27 a 25. A skoro mám pocit že jiná už nejsou...

1) Pro prvočísla p<q do množiny M nepadnou čísla n.p.q až n.p.q+p-1 (včetně) pro libovllné n přirozené, tedy jde o za sebou jdoucích p čísel. Dále se budeme zabývat případy kdy p=2 nebo p=3.

2) Tedy mám-li sudé číslo x, které není mocnina dvojky (tedy v jeho rozkladu je další prvočíslo kromě 2), tak do M nepadnou čísla x,x+1.

3) Podobně mám-li liché číslo >1 (které není mocnina), pak do M nepadnou čísla x,x+1,x+2.

4) Tedy problémové jsou mocniny dvojky - pokud je pro takové číslo x nějaký násobek čísla 3 (který není mocninou 3) o 1 menší než x, tak tedy x-1,x,x+1 nepadne do M. A podle věty, kterou smíme použít víme, že až na x=4 nebude nikdy x-1 mocninou 3.

5) Zbývá vyřešit případ, kdy x je mocnina 2ky a kdy x+1 je násobek čísla 3. Opět nemůže být x+1 mocnina 3 (kromě x=2 a x=8), a tedy není z M. Potom tedy je x-2 násobek 2 (ale nikoli 4) a 3. Pokud by x-2 mělo jiné prvočíselné násobky než 2,3, tak z 1) plyne, že ani x-2,x-1,x není z M. Ovšem pokud je x-2 jen násobek 2 a 3, pak je x-2=2.3^c, x=2^d a tedy po vydělení 2 jsou 3^c,2^{d-1} sousední čísla, což může nastat jen pro c=1 a d=3, tj. x=8, a víme že 8 je z M.

A pokud by platilo toto:
↑ check_drummer:
... alespoň pro lichá provočísla - nebo jen pro konečně mnoho čísel, která by byla známá, tak by to bylo ještě jednodušší, stačilo by pro lichou mocninu x prvočísla uvážit jen číslo x-2.

↑ check_drummer:

Ještě k důkazu - dělal jsem to podobně, rozdělil jsem si to podle různých mocnin čísla 2.

Už víme, že prvkem množiny M může být pouze číslo ve tvaru [mathjax]2^{k}[/mathjax] nebo [mathjax]2^{k}+1[/mathjax].
--------------------------
Platí [mathjax]2^{4k}mod3=2^{4k}mod5=1[/mathjax]

tedy [mathjax](2^{4k}+1)mod3=(2^{4k}+1)mod5=2[/mathjax]

a proto taky [mathjax]2^{4k+1}mod3=2^{4k+1}mod5=2[/mathjax]

Číslo [mathjax]2^{4k+1}+1[/mathjax] musí být mocninou prvočísla a současně dělitelné 3, takže to musí být mocnina tří. To ale podle M. věty není možné.

Tím máme vyřízené první dvě mocniny.
--------------------------
Obdobnou úvahu použijeme i pro čísla [mathjax]2^{4k+2},2^{4k+2}+1,2^{4k+3},2^{4k+3}+1[/mathjax]
protože  [mathjax]2^{4k+2}mod3=2^{4k+2}mod7=1[/mathjax]

A důkaz je hotov. Tedy doufám, že to není celé blbě:-)