Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 04. 2023 10:49

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

Zdravím,
tuhle úlohu jsem řešil asi před pěti lety a dokazování mi trvalo asi tři týdny. Důkaz jsem ale z větší části zapomněl a nepodařilo se mi ho dohledat.
Tak se obracím na profesionály, jestli to nejde nějak jednodušeji...:-) Zadání:

Najděte (a dokažte přitom, že jich je konečně mnoho) všechny dvojice přirozených čísel [mathjax](k,n)[/mathjax] pro které platí

[mathjax]|2^{k}-3^{n}|=1[/mathjax]


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) osman)

#2 23. 04. 2023 13:51

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

Ahoj,
taky jsem kdysi viděl řešení a taky jsem ho zapomněl. :-)


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#3 25. 04. 2023 10:58

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1086
Reputace:   18 
Web
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ osman:
Slyšel jsem, že je pouze jedna dvojice [3;2], 2^3 - 3^2 =8-9=-1
Jiné prý nejsou, ale dokázat to neumím. Není to jednoduché.

Offline

 

#4 25. 04. 2023 14:24 — Editoval osman (25. 04. 2023 21:45)

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ Richard Tuček: - ano, pro [mathjax]k>1,n>1[/mathjax] je tomu tak.

Ale zjistil jsem, že jsem jako radio Jerevan.

Řešení této úlohy je důsledek Catalanovy domněnky https://en.m.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture dokázané v roce 2002 Predem Mihăilescu.

Pravda je taková, že jsem Mihăilescuovu větu použil k důkazu (který jsem konečně našel) konečnosti množiny

[mathjax]M=\{n\in \mathbb{N}\setminus \{1\};\forall p,q\in \mathbb{P}:p\le n\wedge q\le n\wedge p<>q\Rightarrow n(mod p)<>n(mod q)\}[/mathjax]

Laskavému publiku se tímto omlouvám za svou sklerózu a kladu otázku: Jak vypadá monožina [mathjax]M[/mathjax]?

(Myslím, že lidský popis množiny M by mohl znít: Když číslo [mathjax]n[/mathjax] vydělíte postupně všemi prvočísly, ktetrá jsou menší nebo rovna [mathjax]n[/mathjax], dostanete pokaždé jiný zbytek. Kolik takových čísel [mathjax]n[/mathjax] je a která to jsou?)


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#5 25. 04. 2023 15:41

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ osman:
Podle mě jsem viděl jednodušší důkaz, ale už nevím.
Takže je povoleno při hledání tvaru množiny M použít Mihăilescuovu větu?


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#6 25. 04. 2023 16:18

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:
Povoleno je vše, co je korektní a vede k cíli:-)


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#7 25. 04. 2023 18:51

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ osman:
Spíš mi šlo o to, která tvrzení lze použít bez důkazu. Protože kdybych si někde na internetu našel, jaké prvky patří do M a napsal to sem, tak by to asi nebylo uznatelné.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#8 25. 04. 2023 18:52

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

Nechcete na to někdo napsat skript, aby bylo vidět prvních pár čísel množiny M? Třeba mezi 1 a 1000? :-)


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#9 25. 04. 2023 21:35

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:
"Spíš mi šlo o to, která tvrzení lze použít bez důkazu. Protože kdybych si někde na internetu našel, jaké prvky patří do M a napsal to sem, tak by to asi nebylo uznatelné."
Myslel jsem tím, že k podpoře důkazu lze použít již dokázané věty kromě té, jejíž výsledkem je přímo množina M:-)

Pozn.:
Úlohu jsem řešil na jednom fóru. Když jsem se zasekl na Catalinově domněnce, kdosi mě upozornil, že je to dávno dokázané...
Co se týče jednoduchosti důkazu, jeden účastník to dokazoval ještě divočeji pomocí Mersennových prvočísel a posloupnosti intervalů:-)


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#10 25. 04. 2023 21:37

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:
Z definice množiny M mi vypadla podmínka [mathjax]p,q\le n[/mathjax]. Opravil  jsem do definice M i do jejího slovního popisu.


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#11 25. 04. 2023 22:20

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ osman:
A nemáš teda příklad několik prvků množiny M? - řekněme mezi čísly 1 a 1000? Podle mě není žádná velká rada když to sem napíšeš, každý kdo není líný (já jsem) si na to může snadno napsat program.... A podvod to určitě není...


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#12 25. 04. 2023 22:41 — Editoval osman (25. 04. 2023 22:47)

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:
2,3,4,5,8,9
Zkus najít sedmý prvek


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#13 25. 04. 2023 23:37

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 26. 04. 2023 20:35

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ vanok:
Díky - krásné, elegantní, jednoduché


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#15 26. 04. 2023 21:19

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

osman napsal(a):

↑ check_drummer:
2,3,4,5,8,9
Zkus najít sedmý prvek

Do 20 se nadaří... Skoro to vypadá, že už další není?....


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#16 26. 04. 2023 21:34

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:
Jenom to dokázat...:-(


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#17 26. 04. 2023 21:52

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ vanok:
Pěkné. Je to tak jednoduché, že je to až nezajímavé. :-) Ale je na tom krásně vidět že i pomocí jednoduchých úvah lze získat netriviální tvrzení.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#18 26. 04. 2023 21:53

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ osman:
Že by stačilo uvažovat jen taková prvočísla, z nichž jedno z nich je 2 nebo 3?


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#19 26. 04. 2023 22:02

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

Já si to ale možná pletu s jinou úlohou - kdy rozdíl nějakých dvou (alespoň druhých) mocnin je 2. Jedno řešení je 27 a 25. A skoro mám pocit že jiná už nejsou...


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#20 27. 04. 2023 16:28

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:
Myslím, že napřed je třeba ukázat, že prvky množiny M musí být pouze ve tvaru [mathjax]n=2^{k}[/mathjax] nebo [mathjax]n=2^{k}+1[/mathjax], a potom eliminovat [mathjax]k[/mathjax], pro která to nemůže platit.

Mihăilescuovu větu jsem použil pro eliminaci čísel [mathjax]n=2^{k}+1[/mathjax], která jsou dělitelná třemi.


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#21 27. 04. 2023 16:33 — Editoval check_drummer (28. 04. 2023 02:01)

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

1) Pro prvočísla p<q do množiny M nepadnou čísla n.p.q až n.p.q+p-1 (včetně) pro libovllné n přirozené, tedy jde o za sebou jdoucích p čísel. Dále se budeme zabývat případy kdy p=2 nebo p=3.

2) Tedy mám-li sudé číslo x, které není mocnina dvojky (tedy v jeho rozkladu je další prvočíslo kromě 2), tak do M nepadnou čísla x,x+1.

3) Podobně mám-li liché číslo >1 (které není mocnina), pak do M nepadnou čísla x,x+1,x+2.

4) Tedy problémové jsou mocniny dvojky - pokud je pro takové číslo x nějaký násobek čísla 3 (který není mocninou 3) o 1 menší než x, tak tedy x-1,x,x+1 nepadne do M. A podle věty, kterou smíme použít víme, že až na x=4 nebude nikdy x-1 mocninou 3.

5) Zbývá vyřešit případ, kdy x je mocnina 2ky a kdy x+1 je násobek čísla 3. Opět nemůže být x+1 mocnina 3 (kromě x=2 a x=8), a tedy není z M. Potom tedy je x-2 násobek 2 (ale nikoli 4) a 3. Pokud by x-2 mělo jiné prvočíselné násobky než 2,3, tak z 1) plyne, že ani x-2,x-1,x není z M. Ovšem pokud je x-2 jen násobek 2 a 3, pak je x-2=2.3^c, x=2^d a tedy po vydělení 2 jsou 3^c,2^{d-1} sousední čísla, což může nastat jen pro c=1 a d=3, tj. x=8, a víme že 8 je z M.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#22 27. 04. 2023 16:34

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ osman:
Zrovna jsem to začal sepisovat, asi jdu na to podobně jako ty.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#23 29. 04. 2023 20:08

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

A pokud by platilo toto:
↑ check_drummer:
... alespoň pro lichá provočísla - nebo jen pro konečně mnoho čísel, která by byla známá, tak by to bylo ještě jednodušší, stačilo by pro lichou mocninu x prvočísla uvážit jen číslo x-2.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#24 30. 04. 2023 10:58

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:

Code:

A pokud by platilo toto:
↑ check_drummer:
... alespoň pro lichá provočísla - nebo jen pro konečně mnoho čísel, která by byla známá, tak by to bylo ještě jednodušší, stačilo by pro lichou mocninu x prvočísla uvážit jen číslo x-2.

Šlo by to trochu rozvést? Moc jsem nepochopil, oč přesně jde:-)


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#25 30. 04. 2023 11:32

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Rozdíl mezi číslem [mj]2^{k}[/mj] a číslem [mj]3^{n}[/mj]

↑ check_drummer:

Ještě k důkazu - dělal jsem to podobně, rozdělil jsem si to podle různých mocnin čísla 2.

Už víme, že prvkem množiny M může být pouze číslo ve tvaru [mathjax]2^{k}[/mathjax] nebo [mathjax]2^{k}+1[/mathjax].
--------------------------
Platí [mathjax]2^{4k}mod3=2^{4k}mod5=1[/mathjax]

tedy [mathjax](2^{4k}+1)mod3=(2^{4k}+1)mod5=2[/mathjax]

a proto taky [mathjax]2^{4k+1}mod3=2^{4k+1}mod5=2[/mathjax]

Číslo [mathjax]2^{4k+1}+1[/mathjax] musí být mocninou prvočísla a současně dělitelné 3, takže to musí být mocnina tří. To ale podle M. věty není možné.

Tím máme vyřízené první dvě mocniny.
--------------------------
Obdobnou úvahu použijeme i pro čísla [mathjax]2^{4k+2},2^{4k+2}+1,2^{4k+3},2^{4k+3}+1[/mathjax]
protože  [mathjax]2^{4k+2}mod3=2^{4k+2}mod7=1[/mathjax]

A důkaz je hotov. Tedy doufám, že to není celé blbě:-)


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson