Matematické Fórum

Moncaaa · 25. 10. 2009 12:15

Zdravím :)
Mohl by mi prosím někdo poradit s tímto typem příkladu?
Dokažte,že posloupnost je konvergentní,má limitu a a určete,pro které členy posloupnosti platí : absolutní hodnota z a_n - a je < než epsilon
např. $a_n=\frac{3-5n}{3n+2}$ $a=\frac{-5}{3}$ $\epsilon=\frac{3}{100}$

$a_n=\frac{1}{6n-1}$ $a=0$ $\epsilon=\frac{7}{1000}$

Když to dosadim,tak to určim jen ty členy,ale nevím,jak udělat ten důkaz. Díky :)

Doxxik · 25. 10. 2009 12:33 — Editoval Doxxik (25. 10. 2009 12:45)

Moncaaa napsal(a):
Zdravím :)
Dokažte,že posloupnost je konvergentní,má limitu a a určete,pro které členy posloupnosti platí : absolutní hodnota z a_n - a je < než epsilon
např. $a_n=\frac{3-5n}{3n+2}$ $a=\frac{-5}{3}$ $\epsilon=\frac{3}{100}$

takže:

psoloupnost je konvergentní, má-li vlastní limitu. Vypočítáme tedy limitu an pro n jdoucí k nekonečnu:

lim an = (3-n) / 3n + 2)
---zlomek vynásobíme jedničkou ve tvaru: (1/n)/(1/n):
lim an= (3/n - 1) / (3 + 2/n)
--- a protože 3/n a 2/n se nekonečně blíží nule, získáme limitu posloupnosti: -1 /3
jedná se o vlastní limitu, posloupnost je tedy konvergentní.

pro které členy posloupnosti platí - tady si nejsem jist, jak je to myšleno.. jestli:
a) |an - a| < epsilon
b) |an| - a < epsilon

Doxxik

edit: aha, už vím.. to |an-a| má navést k Bolzano-Cauchyově podmínce..

ta říká:

existuje-li ke každému epsilon>0 takové přirozené číslo n0, že pro libovolnou dvojici indexů m > n0, n > n0 platí |am - an|<epsilon, pak je posloupnost (an) konvergentní

Moncaaa · 25. 10. 2009 12:37

Já ale myslela,že mám dokázat,že je ta limita -5/3 když jí mám zadanou...a jinak platí to,že je to celé v absolutní hodnotě,takže tvoje a)

martanko

↑ Moncaaa:z definicie limity mas ze $lim a_n=a$ prave vtedy ak pre vsetky epsilony vacsie ako nula existuje cislo $k$ z N prirodzenych ze $|a_n-a|<\epsilon$

potom $lim \frac{3-5n}{3n+2}=- \frac{5}{3}$ nech $\epsilon>0$ potom $\left| \frac{3-5n}{3m+2} + \frac{5}{3}\right|<\epsilon$ dame na spolocneho menovtela a po uprave dostanes

$\frac{1}{3(3n+2)}<\epsilon$ dalej upravis zatvorku na $9n+6$ a pokracujeme

$1<\epsilon(9n+6)$ potrebujeme vyjadrit n

$\frac{1}{\epsilon}-6<9n$ a odtial n je

$n>\frac{\frac{1}{\epsilon}-6}{9}$ tento vyraz si oznacime ako $*$

zvolime si $k$ ktore je $>$ ako zlomok $*$ . Ak je $n$ vacsie alebo rovne ako $k$ vyplyva z toho ze $n>*$ z toho vyplyva ze $\left| \frac{3-5n}{3m+2} + \frac{5}{3}\right|<\epsilon$

a dokaz je hotovy

martanko · 25. 10. 2009 13:11

↑ Doxxik:
ak sa estelen niekto uci limity tak by som skor navrhol postup pokus omyl.. dostadim si za n cislo 0 dostanem nejake cislo.. potom to skusim pre cislo 1 zas dostanem nejake cislo, dosadim cislo 100 a uz vidim ze absolutne cleny nemaju na vyslednu hodnotu nejak velky vplyv, preto si vsimam iba koeficienty pri n a mam hned comu sa rovna limita :)

Moncaaa · 25. 10. 2009 13:24

↑ martanko: až po tu * to chápu : ),ale pak dál se nějak začínám ztrácet...

martanko

↑ Moncaaa:

hold taka je uz raz analyza :D

nepisal som to uplne vsetko krok po kroku..preto od $*$ som ti pisal co mas robit.. zvolis si $k>*$ ..kludne si to rozpisuj a pokracuj podla toho co je tam napisane

Moncaaa · 25. 10. 2009 13:48

↑ martanko: aaaha už to chápu...párkrát jsem si to přepsala a zapřemýšlela a přeci jen to šlo :) takže děkuju moc za pomoc a hlavně za trpělivost :)

martanko · 25. 10. 2009 14:25

↑ Moncaaa: hlavne to nevzdavat :)

Moncaaa · 25. 10. 2009 15:00

↑ martanko: :)

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2009 12:15

Limita posloupnosti

#2 25. 10. 2009 12:33 — Editoval Doxxik (25. 10. 2009 12:45)

Re: Limita posloupnosti

Moncaaa napsal(a):

#3 25. 10. 2009 12:37

Re: Limita posloupnosti

#4 25. 10. 2009 13:06 — Editoval martanko (25. 10. 2009 13:39)

Re: Limita posloupnosti

#5 25. 10. 2009 13:11

Re: Limita posloupnosti

#6 25. 10. 2009 13:24

Re: Limita posloupnosti

#7 25. 10. 2009 13:36 — Editoval martanko (25. 10. 2009 13:39)

Re: Limita posloupnosti

#8 25. 10. 2009 13:48

Re: Limita posloupnosti

#9 25. 10. 2009 14:25

Re: Limita posloupnosti

#10 25. 10. 2009 15:00

Re: Limita posloupnosti

Zápatí