Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 03. 06. 2023 12:59
Magicke cislo
Pozdravujem,
Najdite vsetki 6 ciferne cisla A, ktorych vsetki cislice su rozne, a take, ze po jeho vynasobeni cislami 2, 3, 4, 5 dostanete cislo vytvorene takymi istimi cislicami ako A.
Vysvetlite podrobne ako ste riesili tento problem.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#2 03. 06. 2023 18:49
- check_drummer
- Příspěvky: 4648
- Reputace: 101
Re: Magicke cislo
↑ vanok:
Ahoj, neplatí to i po vynáísobení číslem 6?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 03. 06. 2023 19:47
Re: Magicke cislo
Podle mě je to číslo v rozsahu 100000 až 199999 protože vyšší číslo by již dalo při násobení pěti sedmimístné číslo.
Hledané číslo má pouze změněné (posunuté) pořadí číslic. A tomu odpovídá periodický zbytek po dělení 7.
Hledané číslo je tedy 142857.
Offline
#4 03. 06. 2023 20:42
#5 03. 06. 2023 21:27 — Editoval Honzc (03. 06. 2023 21:59)
Re: Magicke cislo
↑ check_drummer:
Já jsem to počítal programem a jiné číslo než 142857 mi také nevyšlo.
A máš pravdu, že i při násobení číslem 6 to platí.
Offline
#6 03. 06. 2023 23:41 — Editoval vanok (03. 06. 2023 23:49)
Re: Magicke cislo
Pozdravujem vsetkych kolegov riesitelov.
P
To cislo ste nssli… a aj ste overili, ze vyhovuje, i ked dokaz jednoznacnosti by mohol byt podrobne uvedeny.
No stredoskolak, by chcel iste vediet ako ste nasli to cislo…. ( kolega ↑ Honzc: pouzil na to prrogam, co je iste velmi rychla cesta) ale existuju aj ine metody.
(↑ check_drummer: je tiez pravda ze aj cislo “6A” ma danu vlasnost…. No vsak dana vlasnost pre 2A,…, 5A urci jednoznacne cislo A ).
Tiez je pre stredoskolaka je iste poucne pouzit poznamku o période zlomku [mathjax]\frac 17[/mathjax] s podrobnym vysvetleni.
Je tu niekto z riesitelov stredoskolak?
A naviac ake ( zaujimave) vlasnosti ma to najdene cislo?
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#7 04. 06. 2023 12:58
- check_drummer
- Příspěvky: 4648
- Reputace: 101
Re: Magicke cislo
↑ vanok:
Taky by bylo zajímavé ty podmínky oslabit např. jen pro čísla 2A,3A,4A - a najít je všechna. Ale spíš nějakou úvahou než programem. :-)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#8 14. 06. 2023 13:52
Re: Magicke cislo
↑ check_drummer:
Pozdravujem,
To mas dobre myslienky.
Podobne uvahy ako ↑ mák: sa daju pouzit na to ze nasobky cisla 3 nevyhovuju.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#9 15. 06. 2023 06:58 — Editoval kerajs (15. 06. 2023 07:11)
Re: Magicke cislo
[mathjax]A=a \cdot 10^5+b \cdot 10^4+c \cdot 10^3+d \cdot 10^2+e \cdot 10+f [/mathjax]
[mathjax]
(3|3A)\Rightarrow (3|a+b+c+d+e+f)\Rightarrow (3|A)\Rightarrow (9|3A)\Rightarrow (9|a+b+c+d+e+f)\Rightarrow (9|A)[/mathjax]
[mathjax](a=1) \Rightarrow (f \neq 1)[/mathjax]
Poslednie cisla 2A, 3A 4A , 5A pro f:
[mathjax]
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
f& 0 & -&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ \hline
2A & 0 & -&4&6&8&5&2&4&6&8 \\
3A & 0 & -&6&9&2&5&8&1&4&7 \\
4A & 0 & -&8&2&6&5&4&8&2&6 \\
5A & 0 & -&0&5&0&5&0&5&0&5 \\ \hline
\end{array}[/mathjax]
[mathjax](9\nmid 2+4+6+8+0+1) \Rightarrow (f\notin \{ 2,4,6,8 \} )[/mathjax]
[mathjax](9\nmid 3+6+9+2+5+1) \Rightarrow (f\neq 3)[/mathjax]
[mathjax][(9| 9+8+7+6+5+1) \wedge ( \left\lfloor \frac{2A}{10^5} \right\rfloor \in \{2,3\}) ] \Rightarrow (f\neq 9)[/mathjax]
a)
f=0
...
...
b)
f=5
...
...
c)
f=7
[mathjax]b,c,d,e\in \{ 4,1,8,2 \} [/mathjax]
....
....
Offline
#10 16. 06. 2023 00:03 — Editoval vanok (26. 06. 2023 08:39)
Re: Magicke cislo
Pozdravujem ↑ kerajs:,
Akoze tu piseme pre stredoskolakov, tak je normalne sa vyjadrovat tak, aby tomu dnesny stredoskolak rozumel .
Teraz, tu pridam este
zaujimave fakty tykajuce sa cisla A ( a aj niektorych jeho « priatelov).
Ked uz viete, ze A= 142857, tak mozte konstatovat ze cislice cisiel A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A, su vytvorene
všetkými možnými cyklickými permuciami sestice z (1, 4, 2, 8, 5, 7) a ze 7A je 999999
(Napr 2A = 285714 koresponduje sestici (2, 8, 5,7,1,4).)
Cize mame
1.A= 142857
2.A= 285714
3.A » 428571
4.A » 571428
5.A= 714285
6.A= 857142
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#11 16. 06. 2023 17:15 — Editoval vanok (25. 06. 2023 22:50)
Re: Magicke cislo
Cislo 999999=13x 76923. Polozme B=076923, a a vypocitajte 12 cisiel, 1.B,2.B, …, 12.B :
1.B= 076923
2.B= 153846
3.B= 230769
4.B= 307692
5.B= 384615
6.B= 461538
7.B= 538461
8.B= 615384
9.B= 692307
10.B=769230
11.B=846153
12.B=923076
Tu konstatujeme, tychto 12 cisiel, su cyklicke permutacie z cyklov (1,5,3,8,4,6) alebo (0,7,6,9,2,3).
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#12 24. 06. 2023 13:52
Re: Magicke cislo
↑ vanok:
Dobrý den,
s touto úlohou jsem se poprvé seznámil v knize: K.Čupr: Matematické zábavy a hry.
Tam se také píše, že "V číselné theorii se dokazuje, že existují prvočísla p taková,
že perioda zlomku 1/p má právě p-1 míst, např. taková pročísla jsou (kromě 7) 17, 19:
1/17=0.0588235294117647058823...
1/19=0.052631578947368421052631...
Tato čísla násobená 2,...,16, resp. 2,...,18 dávají výsledky složené z téhož počtu
týchž číslic jako čísla základní s nepatrnou změnou v pořadí jako čísla základní." - konec citátu.
Pomocí WolframAlpha jsem našel, že další taková prvočísla jsou 23, 47 a zřejmě další.
Dá se někde najít podrobnější popis této problematiky?
S pzdravem VaK.
Offline
#13 24. 06. 2023 17:35 — Editoval vanok (27. 06. 2023 16:27)
Re: Magicke cislo
↑ VaK:
Pozdravujem,
Mas pravdu, ze sa existuju ine podobne situacie ako tie tu vyssie popisane.( ale ktore nie su tu zatial celkom ukoncene).
(Tu knihu, ktoru citujes, od Cupra nepoznam).
No ked chces ist dalej, budes musiet pracovat, na vysokoskolskej urovni.
A iste niekde najdes aj zaujimave vysledky a aj niektore komjonkturi, ( pozri napr. na vyskedky vo wikipedii, ktore nie su zatial dokazene alebo niektore, ktore su dokazane, ale za predpokladu, ze plati Riemannova hypotesa).
Ked ukoncime tuto stredoskolsku temu, dam tu, ako epilog nejake dokazy.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#14 29. 06. 2023 20:20
Re: Magicke cislo
Pozdravujem,tu podrobne reagujem na pispevky ↑ mák:,↑ check_drummer: a dam tu na jednu metodu ako nast ciislo A=142857.
Co sa tyka toho ze cislo zacina cislic ou 1,
Staci si uvedomit, ze inac, cislo 5A by bolo 7 miestne.
Ukazme, ze cislo A ma cisllicu jednotiek 7.
Vsetki ine cislice, cize 2, 3, 4, 5, 6 su take, ze potom A, … , 5A maju alebo dve rovnake cislice , alebo ziadnu 1….
To da, ze cislice 7 vyhovuje.
Tiez takto konstatujeme, ze len 7, 4, 1, 8, 5, 2 su vyhovujuce cislice.
Lahko ukazeme, ze A=14…7 takej to formy.
Teraz, staci vysetrit 6 moznosti, kde … su 258, 285, 528, 582, 825 852.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#15 02. 07. 2023 13:15 — Editoval vanok (04. 07. 2023 14:27)
Re: Magicke cislo
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline