Matematické Fórum

Ahoj,
mějme jednotkový interval I, uvnitř kterého je náhodně rozmístěno n intervalů Ji, každý o délce d. Pro jednoduchost lze předpokládat, že n je velké, d výrazně mení než 1 (aby nebylo nutné řešit chování na okraji intervalu I). Intervaly Ji jsou rozmístěny dle rovnoměrného rozdělení.
A otázka zní, jaká je střední hodnota (nebo její odhad) míry sjednocení intervalů Ji (tj. $E(\mu (\bigcup _{}^{}{J}_i))$).

Je zřejméné, že tato míra není menší než d, ale ani větší než n.d. Také je zřejmé, že pro malá n bude střední hodnota přibližně n.d. Zajímavý je případ, kdy hodnota n.d je zhruba 1 nebo o něco menší.

(Kdo neví co je míra, tak pro jednoduchost - sjednocením intervalů Ji získáme nějakou množinu intervalů a míra tohoto sjednocení je součet jejich délek - ovšem pozor, nikoli součet délek intervalů Ji, protože tyto intervaly se mohou překrývat.)