Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 13. 06. 2023 19:53
Spojitost funkce
Ahoj mám příklad:
a) Lze funkci f: [mathjax]\mathbb{R} \setminus {0} \Rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x}sin(\frac{1}{x})[/mathjax],
lze tuto funkci spojitě dodefinovat v bodě 0?
Z definice by mělo platit: [mathjax]lim_{x\to x_0}(f(x)) = f(x_0)[/mathjax]
Ale zasekl jsem se na počítání limity:
[mathjax]lim_{x\to 0} \frac{1}{x} = \infty[/mathjax]
[mathjax]lim_{x\to 0} sin(\frac{1}{x}) [/mathjax] - neexistuje, ale jak to dokážu? - Šel jsem na to tak, že sin se pohybuje v intervalu <-1;1>, takže nelze určit kam půjde v nekonečnu.
A druhý příklad:
b) Lze funkci f: [mathjax]\mathbb{R} \setminus {0} \Rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{sinx}{x}[/mathjax],
lze tuto funkci spojitě dodefinovat v bodě 0?
Tak to mám, že sin0 = 0, takže [mathjax]lim_{x\to 0}(\frac{sinx}{x}) = 0[/mathjax]. => funkce lze spojitě dodefinovat v bodě 0.
Mám to tak správně? a co s příkladem a)?
Díky
Offline
#2 13. 06. 2023 21:03 — Editoval surovec (13. 06. 2023 21:04)
Re: Spojitost funkce
↑ popcorn:
b) Dodefinovat lze, ale ne tak, jak jsi napsal. Ta limita se totiž rovná jedné.
a) Ta podle mě dodefinovat nejde, ale tvoje argumentace také trochu pokulhává. To, že neexistuje limita jednoho součinitele, ještě neznamená, že neexistuje limita celého součinu. Ale v tomto případě opravdu neexistuje.
Offline
#3 13. 06. 2023 21:09 — Editoval check_drummer (13. 06. 2023 21:13) Příspěvek uživatele check_drummer byl skryt uživatelem check_drummer. Důvod: Záměna a a b
#4 13. 06. 2023 21:13 — Editoval check_drummer (13. 06. 2023 21:14)
- check_drummer
- Příspěvky: 4650
- Reputace: 101
Re: Spojitost funkce
popcorn napsal(a):
b)
Tak to mám, že sin0 = 0, takže [mathjax]lim_{x\to 0}(\frac{sinx}{x}) = 0[/mathjax].
Díky
Když je limita čitele a jmenovatel 0, tak z toho neplyne, že celá limita je 0. Co třeba [mathjax]lim_{x\to 0}(\frac{x}{x})[/mathjax]?
Brali jste nějaká základní limity? Nebo L'hospitalovo pravidlo (což je pán, který ho koupil od svého učitele Bernoulliho :-))?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 14. 06. 2023 11:09
Re: Spojitost funkce
b) Aha, takže použiju L'hospitala:
[mathjax]\lim_{x\to0}sinx = 0[/mathjax] a
[mathjax]\lim_{x\to0}x= 0[/mathjax]
->
[mathjax]\lim_{x\to0}\frac{(sinx)'}{x'}= \lim_{x\to0}cosx = cos0 = 1[/mathjax]
Pak ale nechápu, jak použít tu definici na spojitost funkce, když [mathjax]x_0 = 0[/mathjax] a mně vyšlo, že [mathjax]lim_{x \to x_0} = 1[/mathjax]. To by znamenalo, že funkce nejde spojitě dodefinovat?
a)
rozdělíme si to na dvě funkce:
[mathjax]f(y) = sin(y)[/mathjax] a [mathjax]g(x) = \frac{1}{x}[/mathjax]
, pak [mathjax]lim_{x\to0} \frac{1}{x} = \infty[/mathjax] -> [mathjax]lim_{y\to\infty} sin(y) - neexistuje[/mathjax]
Offline
#6 14. 06. 2023 11:53
Re: Spojitost funkce
↑ popcorn:
b) Neviem, co mas na mysli pod pouzitim tej (akej?) definicie na spojitost funkcie, tuto funkciu ale v bode 0 je mozne spojite dodefinovat, ako si prave ukazal.
a) Pozor, ide o sucin funkcii, nie o zlozenu funkciu. Pouvazuj o jej grafe v okoli nuly, to by ta malo naviest na spravnu argumentaciu.
Offline
#8 14. 06. 2023 12:39
Re: Spojitost funkce
↑ popcorn: Sloveso "dodefinovat" znamena "doplnit funkcnu hodnotu v bode, kde funkcia definovana nie je".
Offline
#9 14. 06. 2023 12:55 — Editoval surovec (14. 06. 2023 13:02)
Re: Spojitost funkce
↑ popcorn:
b) Asi ti není jasné, co vlastně vlastní limita graficky znamená. Funkce tam v tomto případě není definovaná, je tam "díra". Limita říká, jakou funkční hodnotu mají body v nejtěsnějším okolí toho přerušení. Spočítal jsi, že ta hodnota je (z obou stran) rovna jedné, takže doplníš bod o souřadnicích [0; 1]. Zřejmě totiž ve svých úvahách zaměňuješ x-ovou a y-ovou souřadnici.
Offline
#10 14. 06. 2023 13:01
Re: Spojitost funkce
↑ popcorn:
[mathjax]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ne \infty[/mathjax]
A jak už jsem psal výše, určení limit součinitelů ti k určení limity součinu nemusí stačit, může totiž (v limitě) platit
[mathjax]neex. \cdot \infty = \infty[/mathjax]
[mathjax]neex. \cdot \infty = -\infty[/mathjax]
[mathjax]neex. \cdot \infty = reálná\space konstanta[/mathjax]
[mathjax]neex. \cdot \infty = neex.[/mathjax]
Offline
#11 14. 06. 2023 21:20
- check_drummer
- Příspěvky: 4650
- Reputace: 101
Re: Spojitost funkce
↑ popcorn:
Zamysli se nad funkcí x/x, zda je definována pro všechna x a pokud ne, zda ji lze v bodě, kde není definována, dodefinovat tak, aby byla spojitá.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline