Matematické Fórum

Dobrý deň,

v knihe z Lineárnej algebry mám dokázať toto tvrdenie:

Nech V je vektorový priestor nad telesom T. Ak je [mathjax]u_1,...,u_k \in V[/mathjax] a [mathjax]a_1,...,a_m \in T[/mathjax], potom

[mathjax]\sum_{i=1}^{m}a_i\sum_{j=1}^{k}u_j[/mathjax]=[mathjax]\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k}a_iu_j[/mathjax].

Tvrdenie som dokazoval indukciou, dôkaz nepíšem presne aj slovami, ide mi len o správnosť krokov.

Pre prípad m=1 a k=1 dostávame indukčný predpoklad:


[mathjax]\sum_{i=1}^{m}a_i\sum_{j=1}^{k}u_j=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k}a_iu_j=a_iu_j[/mathjax]


Pre m+1 a k+1 máme:

(1) [mathjax]\sum_{i=1}^{m+1}a_i\sum_{j=1}^{k+1}u_j=(\sum_{i=1}^{m}a_i+a_{m+1})(\sum_{j=1}^{k}u_j+u_{k+1})[/mathjax].

Pri roznásobení som použil indukčný predpoklad:

[mathjax](\sum_{i=1}^{m}a_i+a_{m+1})(\sum_{j=1}^{k}u_j+u_{k+1})=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k}a_iu_j+(\sum_{i=1}^{m}a_i)(u_{k+1})+(\sum_{j=1}^{k}u_j)(a_{m+1})+a_{m+1}u_{k+1}[/mathjax].

Ďalej som ľavú stranu rovnice z (1) znovu takto upravil, ale nepoužil som indukčný predpoklad. Potom som dal tento výraz do rovnosti s výrazom ktorý som dostal s použitím indukčného predpokladu, odčítal rovnaké členy a dostal som:

[mathjax]\sum_{i=1}^{m}a_i\sum_{j=1}^{k}u_j[/mathjax]=[mathjax]\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k}a_iu_j[/mathjax].


Je tento dôkaz správny?