Matematické Fórum

Katarina · 26. 10. 2009 18:10

Ahojky,

mohla bych se zeptat, jak mám počítat limity, kde ve jmenovateli je nižší mocnina než v čitateli??

Když je ve jmenovateli mocnina vyšší, jako např.:

${\lim}\limits_{n \to \infty}=\frac{n^2+2n+3 }{n^3+1 }$ , tak to dokážu spočítat (jmenovatele i čitatele násobím 1/n^3 a v tomto případě vyjde 0.

Ale když je ve jmenovateli mocnina nižší, jako u tohoto př.: ${\lim}\limits_{n \to \infty}=\frac{n^3-1 }{n^2+n }$ a zkouším to počítat stejně, tak mě vychází taky 0, ale vím že má vyjít + nekonečno. Jak bych to měla správně počítat???

plisna · 26. 10. 2009 18:19

musis vydelit citatele i jmenovatele nejvetsi mocninou n, ktera se nachazi ve jmenovateli, v tomto pripade tedy n^2. pak dostanes ${\lim}\limits_{n \to \infty}=\frac{n^3-1 }{n^2+n } = \lim_{x \to \infty} n = + \infty$

jarrro · 26. 10. 2009 18:22 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 12:06)

↑ Katarina:ak je v v čitateli vyššia mocnina a ide to do nekonečna tak je limita nekonečno a ani netreba nič počítať resp
$\lim\limits_{n \to \infty}=\frac{n^3-1 }{n^2+n }=\lim\limits_{n \to \infty}=\frac{1-\frac{1}{n^3} }{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} }=\frac{1}{0}=\infty$ čitateľ aj menovateľ sú pre okolie nekonečna vždy kladné čísla preto je lim skutočne nekonečno

Katarina · 26. 10. 2009 18:31

↑ plisna:

${\lim}\limits_{n \to \infty}=\frac{\frac{n^3}{n^2 }-\frac{1}{n^2 } }{\frac{n^2}{n^2 }+\frac{n}{n^2} }$
${\lim}\limits_{n \to \infty}=\frac{\frac{n}{1}-\frac{1}{n^2 } }{1+\frac{1}{n} }$
${\lim}\limits_{n\to \infty}\frac{0}{1}$ = 0 a ne nekonečno, tak co dělám špatně??

plisna · 26. 10. 2009 18:42 — Editoval plisna (26. 10. 2009 18:44)

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - 1}{n^2+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2}}$ a vime, ze $\lim_{n \to \infty} \frac{n^a}{n^b} = 0$ pro $a < b$ , takze dostavame $\dots = \lim_{n \to \infty} n = + \infty$ . okay?

ve svem vypoctu to mas skoro dobre, v poslednim kroku ale dostaneme $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{1}$

Katarina · 26. 10. 2009 18:56

↑ plisna:děkuji za vysvětlení, mohla bych se ještě zeptat, jak postupovat, když mám takovýto příklad:
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2 }(1+2+3+...+n)$ ? Mám postupně za n dosazovat 1,2,3,...nebo co to zadání vyjadřuje?

Tychi · 26. 10. 2009 18:58 — Editoval Tychi (26. 10. 2009 19:26)

↑ Katarina:to je součin zlomku a závorky, kde je součet n čísel. POd každým z nich si tedy představíš ten jmenovatel. ?áš pak součet n limit, o "každé" rozhodneš kam míří, sečteš a máš hotovo.

edit. ptákoviny píšu, omlouvám se.

lukaszh · 26. 10. 2009 19:01

↑ Tychi:
To nie je korektné. Treba si uvedomiť, že
$1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot(n+1)$

Katarina

↑ Tychi: ↑ lukaszh: já vám asi nerozumím :-(

lukaszh · 26. 10. 2009 19:14

↑ Katarina:
Zo strednej školy "by si mala" vedieť vzorec pre súčet n-členov aritmetickej postupnosti. $s_n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot(a_1+a_n)$ .
$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2}\cdot n\cdot(n+1)}{n^2}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{n^2}=\frac{1}{2}$

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2009 18:10

limity

#2 26. 10. 2009 18:19

Re: limity

#3 26. 10. 2009 18:22 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 12:06)

Re: limity

#4 26. 10. 2009 18:31

Re: limity

#5 26. 10. 2009 18:42 — Editoval plisna (26. 10. 2009 18:44)

Re: limity

#6 26. 10. 2009 18:56

Re: limity

#7 26. 10. 2009 18:58 — Editoval Tychi (26. 10. 2009 19:26)

Re: limity

#8 26. 10. 2009 19:01

Re: limity

#9 26. 10. 2009 19:08 — Editoval Katarina (26. 10. 2009 19:10)

Re: limity

#10 26. 10. 2009 19:14

Re: limity

Zápatí