Matematické Fórum

↑ Petik18:
V reálném oboru udělám lichou odmocninu i ze záporného čísla, sudou jen z kladného.
Aby nedocházelo ke zmatkům, je konvence, že za sudou odmocninu z kladného čísla se bere kladné číslo.
U liché odmocniny je zbytečné se omezovat na kladná čísla (někteří tak činí).

P.S. V komplexním oboru je n-tá odmocnina n-značná.
Pozor: v reálném oboru platí:   druhá odm(x^2)= abs(x)

↑ Petik18:

Pamatuju se, že když jsem chodil do školy já (to už je hodně dávno :-), tak jsem se přesně na toto téma s učiteli hádal věčně  (jak na SŠ, tak na VŠ). V tomto je skutečně binec.

Učebnice aritmetiky i slušné učebnice analýzy definují reálnou n-tou odmocninu pouze z nezáporného čísla.

Některé učebnice matematické analýzy ovšem n-tou odmocninu definují jako funkci inverzní k x^n. A protože funkce x^n je pro lichá n prostá na celém R, je n-tá odmocnina pro lichá n definována taky na celém R. Podle mě je toto velmi nešťastné, protože pak vlastnosti funkce odmocnina závisejí na tom, zda je to odmocnina sudá, anebo lichá. Je to potom snad jediná funkce, která dělá takové skopičiny. Ostatní funkce jako sin nx, log_n x atd. mají stejný definiční obor, ať je n sudé, anebo liché.

Ale to je můj osobní názor na věc. Takže - jak píše ↑ misaH:: podívej se, jak máte n-tou odmocninu definovanou ve vašich materiálech a udělej to podle toho.  Můžeš pak na toto téma zavést debatu. Materálů, kde je to definováno tak, anebo onak, se dají najít mraky.

Je to opravdu věc definice. Oboje má asi smysl. Já bych byl pro lichou odmocninu ze záporného čísla uvažovat a tím se o nic neochudíme. Třeba může být někdy vhodné aplikovat na danou rovnici třetí odmocninu..... i kdyby jedna strana byla záporná... pro x reálné, x^3=-8 - pak hned dostaneme řešení x=-2.

Podobně můžeme položit otázku, jestli $(\sqrt[3]{x}{)}^3=x$?
A odpověď, že to platí jen pro x>=0 je přeci jen trochu divná...

↑ osman:

Intelektuální čipera to duševnímu lenochovi jistě lehce vysvětlí:

$-2=\sqrt[3]{-8}=\sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[3]{8}=2$

↑ Eratosthenes:druhá "rovnosť" je nepravda

↑ MichalAld:

Pdobně si můžeme položit otázku, jestli $(\frac{n}{2})\cdot 2=n$ Odpověd, že to platí jen pro $n\in \mathbb{Q};\mathbb{R};\mathbb{C}$ je divná úplně stejně. A přesto je to pravda.

Eratosthenes napsal(a):

↑ MichalAld:

Pdobně si můžeme položit otázku, jestli $(\frac{n}{2})\cdot 2=n$ Odpověd, že to platí jen pro $n\in \mathbb{Q};\mathbb{R};\mathbb{C}$ je divná úplně stejně. A přesto je to pravda.

Myslím, že to platí i pro spoustu dalších "věcí".


Zas u funkce $y=\frac{7}{x}$ taky málokoho napadne omezovat definiční obor na x > 0, i když tomu taky nic nebrání.

↑ MichalAld:

------------------
Zas u funkce $y=\frac{1}{x}$ taky málokoho napadne omezovat definiční obor na x > 0, i když tomu taky nic nebrání.
-----------------

To jistě, ale to je tím, že s výrazem 1/x můžeš dál normálně pracovat jako s každým jiným racionálním číslem, i když je x<0. Proto se tam běžně vylučuje jen ta nula.

Výraz $\sqrt[3]{-8}$ vypadá jako odmocnina, ale odmocnina to není. Můžeš to tak nazvat, ale to je tak asi všechno. jako odmocnina se to evidentně nechová, jako s odmocninou s tím evidentně pracovat nemůžeš.

Neplatí

$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[6]{(-8{)}^2}$

což od odmocniny normálně očekáváš, neplatí

$\sqrt[3]{-8}=(-8{)}^{\frac{1}{3}}$

což normálně od odmocniny očekáváš

a už vůbec neplatí

$\sqrt[3]{-8}=\exp (\frac{1}{3}\ln (-8))$

což normálně očekáváš od odmocniny a logaritmu.

Ano, jistě můžeš definovat: odmocnina je něco, pro co platí

(1)
(2)
(3)
...
(54)

Třetí odmocnina je odmocnina, pro kterou platí jen (1) a neplatí (2), (3), ....(54)

V matematické analýze to zjevně někomu nevadí.

Představ si geometra, který by definoval: lichoběžník je čtverec, který nemá všechny strany shodné, všechny úhly pravé a úhlopříčky se mu nepůlí.

To by ho asi všichni měli za blba. Přitom je to úplně totéž.

Koloběžka je auto, které nemá motor, dveře a kapotu. Totéž.

↑ check_drummer:

za prvé, je to blbost, protože

$\sqrt[3]{a}=\sqrt[6]{a^2}$

platí třeba i pro

$a=\pi$

a za druhé to tam nikde nepíšou. To "a" není základ té mocniny, ale slučovací spojka v souvětí.

↑ Eratosthenes:
Tak v tom případ je ten vzorec nesmysl, protože není řečeco z jaké množiny je a. :-)

↑ Eratosthenes:
Problém ale není, že by $\sqrt[3]{x^3}$ nebylo x, problém je, že $\sqrt[2]{x^2}$ není x.