Matematické Fórum

Zdravím,
chtěl bych si odvodit vzorec pro výpočet plošného momentu setrvačnosti kruhové výseče mezikruží pro kartézské souřadnice.
V první fázi jsem postupoval tak, že jsem si odvodil moment setrvačnosti pro kruhovou výseč a pak jsem pomocí Steinerovy věty od sebe výseče odečetl:
Pro zjednodušení jsem počítal s půlkruhy:
Polární moment setrvačnosti (půlkruh):
[mathjax] I_{0} =  \int_{A}^{} r^2 \,dA [/mathjax]
[mathjax] I_{0} =  \int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{2}(rsin (\psi))^2r^{2} \,d\psi = \dfrac{\pi r^{4}}{4} [/mathjax]
Moment setrvačnosti k ose x (půlkruh):
[mathjax]I_{0} = I_{x} + I_{y}[/mathjax]
[mathjax]I_{x} = I_{y}  = \dfrac{1}{2}I_{0} =  \dfrac{\pi r^{4}}{8}[/mathjax]
Moment setrvačnosti pro výseč mezikruží:
[mathjax] I_{x} = I_{x1} - I_{x2} [/mathjax]
Při volbě r1 = 125mm a r2 = 117mm:
[mathjax] I_{x}  = [/mathjax] 22 286 420 mm[mathjax] ^{4}[/mathjax]  - což by měla být správná hodnota

Pak jsem si to chtěl zkusit odvodit přímo pro mezikruží, kdy znám poloměr střednice a výšku mezikruží.
r=[mathjax] \dfrac{r1+r2}{2} = \dfrac{125+117}{2}   = 121 mm[/mathjax]; t = r1-r2 = 125-117 = 8 mm
Polární moment setrvačnosti:
[mathjax] I_{0} =  \int_{0}^{\pi} r^{2}tr \,d\psi = \pi r^{3}t [/mathjax]
Moment setrvačnosti k ose x :
[mathjax] I_{x}  = \dfrac{1}{2}I_{0}  =  \dfrac{1}{2}\pi r^{3}t [/mathjax]

Po dosazení:
[mathjax]I_{x}=[/mathjax] 22 262 092 mm[mathjax] ^{4}[/mathjax]

Což dělá rozdíl 24 328 mm4.
Nevěděl byste někdo, kde dělám chybu?
Díky