Matematické Fórum

misaH napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:

Ktovie, ako sa v učebniciach definuje trebárs pojem dotyčnice, celkom by ma to zaujímalo.

Ale to je velmi jednoduché. Prokopal jsem se do nižších geologických vrstev svojí knihovny a našel jsem třeba:

=============================
Tečna kuželosečky je přímka, která má s kuželosečkou společný právě jeden bod...a neobsahuje žádný vnitřní bod kuželosečky (Kubešová, N., Cibulková, E.: Matematika - přehled středoškolského učiva, Edice Maturita, Třebíč 2006, str. 175)   
=============================
Přímka t, která má s kuželosečkou právě jeden společný bod T a neobsahuje žádný bod vnitřní oblasti kuželosečky, se nazývá tečna kuželosečky (Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, Praha 1998, str. 582).
=============================
(asi bych těch středoškolských učebnic našel ještě víc,  ale myslím, že to stačí).

Tak jsem ke svému překvapení zjistil, že třeba i docent Polák, náš přední didaktik, tláská stejné nesmysly, jako já a dokonce je píše do svých tlustospisů.

No, ještě že tady máme odborníky, kteří si leští svoje ego tím, že to hrubě rozporují a nás, hlupáky, obohacují pitoreskními internetovými objevy svojí Ameriky.

=============================
Tečna kuželosečky je přímka, která má s kuželosečkou společný právě jeden bod...a neobsahuje žádný vnitřní bod kuželosečky (Kubešová, N., Cibulková, E.: Matematika - přehled středoškolského učiva, Edice Maturita, Třebíč 2006, str. 175)   
=============================
Přímka t, která má s kuželosečkou právě jeden společný bod T a neobsahuje žádný bod vnitřní oblasti kuželosečky, se nazývá tečna kuželosečky (Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, Praha 1998, str. 582).
=============================

Přijde mi to stejné, jako když bychom napsali definici, že tečna ke křivce y = sin(x) je přímka, která má ve společném bodě směrnici cos(x). Né, že by to nebyla pravda, a možná to lze dokázat i bez diferenciálního počtu, ale vydávat to za definici je prostě uhozené.

Mě hlavně přijde špatné to, že korektní definice tečny se týká jen toho bodu dotyku a jeho blízkého okolí, a tyhle definice vyžadují vyšetření bodů i někde jinde, obecně dokonce až někde blízko nekonečna. Což je úplně proti základní myšlence té tečny.

A taky to, že když něco neumím dokázat, prohlásím to za definici. Podle mě je to, jak už jsem psal, vlastně argumentačním klamem. Mmch  - o argumentačních klamech se ve škole taky neučí, já se s tím pojmem potkal teprve nedávno. Přitom je to známé tuším už od antického řecka.

Já si o tom klidně popovídám i s autory těch knížek, když je sem přivedeš. Třeba se ukáže, že se mnou budou i souhlasit.

Mezi tím mi můžeš vysvětlit, jak se dokáže, že přímka rovnoběžná s osou hyperboly má s hyperbolou zrovna jen jeden společný bod, a jak se třeba dokáže už samotná existence os hyperboly (tj, že mezi osu hyperboly a hyperbolu samotnou už nedokážeme vecpat další přímku, která by s hyperbolou neměla společný bod). Ideálně teda s pravítkem a kružítkem. Já to třeba nevím.

Takže trocha logiky.

Úsudek 1:

Předpoklad 1.
↑↑ Eratosthenes: napsal: Tečna kuželosečky je přímka, která má s kuželosečkou právě jeden společný bod a všechny její ostatní body jsou vnější.

Předpoklad 2.
↑↑ MichalAld: tvrdí: To je nesmysl.
===============================

Závěr:  Eratothenes napsal nesmysl.

Úsudek je správný
===============================

Úsudek 2:

Předpoklad 1.
Eratothenes napsal nesmysl.

Předpoklad2:
↑ Eratosthenes: ukázal, že autoři učebnic píší totéž.
===============================

Pro ↑ misaH: z toho plyne závěr:

Eratosthenes říká, že autoři učebnic jsou debilové, protože ho opisují.

To není úsudek, to je absolutní myšlenkový zkrat

Takže ještě jednou:

Předpoklad 1. Eratothenes napsal nesmysl.
Předpoklad 2. Autoři učebnic píší totéž. 
Závěr          : Autoři učebnic napsali nesmysl.

Úsudek je správný. Jde o to, jak ohodnotíme předpoklady a závěr. Předpoklad 2 je evidentně správný (viz citace). Má-li pravdu ↑↑ MichalAld:, je správný i předpoklad 1, takže je správný i závěr. Možné to sice je, ale já bych spíš věřil tomu, že v učebnicích je to dobře. Závěr úsudku je tedy nesprávný. A protože úsudek je správný, musí být nesprávný alespoň jeden předpoklad. A protože předpoklad 2 je správný (viz výše), musí být nesprávný předpoklad č. 1. Je mi líto, Michale.

Jsem rád, že alespoň ↑ misaH: uznala, že mám pravdu, ale stačilo to napsat jenom jednou :-)

Dále:

misaH napsal(a):

↑ Eratosthenes: Nakukni do online učebnice matematiky Realisticky...

Nakukol som a zjistil jsem, že tečna kuželosečky tam není definována vůbec. Tečna je definována jenom pro elipsu. To by se Michalovi mělo líbit ještě míň, než definice moje, protože to není ani "kuželosečkotečna", ale jenom "elipsotečna":

Definice

Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě. Říkáme, že přímka je tečnou elipsy.

Ano, to je definice tečny elipsy a je zcela korektní (i když - striktně vzato - nemá správnou logickou strukturu).

MichalAld napsal(a):

Přijde mi to stejné, jako když bychom napsali definici, že tečna ke křivce y = sin(x) je přímka, která má ve společném bodě směrnici cos(x).

Ano, to je zcela korektní definice grafu funkce sinus. Otázka, zda je to z nějakého hlediska vhodné, anebo
nevhodné, uhozené, anebo neuhozené, je matematicky zcela irelevantní. Matematická korektnost a didaktická vhodnost je něco zcela jiného. A jen tak pro úplnost: Definice se nedokazují. Dokazují se matematická tvrzení (věty). Já jsem se to kdysi učil už na základní škole.

Matematika realisticky a tečna hyperboly :

Jediná informace o tečně hyperboly zní: Přímka nakreslená plnou červenou čarou = tečna,

To je popis nějakého obrázku, ale není to definice tečny hyperboly (já si tečnu hyperboly namaluju klidně zeleně a čárkovaně). Tento "matematický" text pracuje s nedefinovanými pojmy a to je špatně. To prostě nelze. To pak není matematika, ale alchymie. Bohužel.

==============================

Vrátím se na začátek, kdy jsem napsal, že tečnu kuželosečky lze definovat několika způsoby.

Především: na středoškolské úrovni nelze definovat tečnu pomocí derivace, protože středoškolák neví, co je to regulární křivka, ani derivace bodové či vektorové funkce.

Takže:

1. Tečna kuželosečky = přímka, která má jeden společný bod a všechny ostatní vně (anebo žádný uvnitř, což je totéž)
2. Tečna kuželosečky = osa úhlu průvodičů
3. Přímka p(x,y)=0 = tečna kuželosečky k(x,y)=0 <=> soustava p(x,y)=0; k(x,y)=0  má dvojnásobný kořen.

(možná ještě jinak, ale nenapadá mě jak).

Každé z těchto tří tvrzení lze považovat za definici, protože pak zbývající dvě lze odvodit resp. dokázat jako věty.   

Konečně:

misaH napsal(a):

↑ Eratosthenes:

Jasné, a ako budeš počítať súradnice bodu dotyku?

Jednoduše: budu hledat dvojnásobný kořen soustavy rovnic - viz výše uvedený bod 3. A je úplně jedno, jestli jsem tečnu definoval jako bod 1, anebo 2. V matematice je spousta věcí, které se počítají jinak, než jak jsou definovány (např. determinant, anebo třeba zrovna ty derivace).

Tak, myslím, že je to všechno, takže taky

Howgh.

Eratosthenes napsal(a):

Takže trocha logiky.

Úsudek 1:

Předpoklad 1.
↑↑ Eratosthenes: napsal: Tečna kuželosečky je přímka, která má s kuželosečkou právě jeden společný bod a všechny její ostatní body jsou vnější.

Předpoklad 2.
↑↑ MichalAld: tvrdí: To je nesmysl.
===============================

Závěr:  Eratothenes napsal nesmysl.

Úsudek je správný
===============================

Úsudek 2:

Předpoklad 1.
Eratothenes napsal nesmysl.

Předpoklad2:
↑ Eratosthenes: ukázal, že autoři učebnic píší totéž.
===============================

Pro ↑ misaH: z toho plyne závěr:

Eratosthenes říká, že autoři učebnic jsou debilové, protože ho opisují.

To není úsudek, to je absolutní myšlenkový zkrat

Takže ještě jednou:

Předpoklad 1. Eratothenes napsal nesmysl.
Předpoklad 2. Autoři učebnic píší totéž. 
Závěr          : Autoři učebnic napsali nesmysl.

Jenom nechápu proč tak složitě. Stačí přece říct: mějme definici "Erathostenes má vždycky pravdu", a protože je to definice, není třeba ji ani nijak dokazovat, prostě to tak je - a z toho už snadno vyvodíme, že má pravdu i co se týče kuželoseček a jejich tečen.

↑ jarrro:

Záleží na tom, koho se ptáš. Podle mě vůbec nic a je to zcela korektní definice tečny grafu funkce.

Podle ↑ MichalAld: to není definice tečny, ale jenom nějaké grafofunkcotečny, protože je to pravda jenom v případě  grafu funkce, ale už ne třeba v případě elipsy, která není grafem funkce. Z tohoto důvodu prý není možné tečnu na SŠ vůbec definovat.

Michalovi ale nevysvětlíš, že definice v matematice takto chápat nelze. Alespoň já se o to marně pokouším už týden. Možná to bude tím, že z jeho příspěvků postupně přicházím na to, že není ani matematik, ani učitel. Tím méně ovšem chápu, proč se plete do diskuse někomu, koho matematika a její výuka živí už padesát let.

Pak se ještě můžeme bavit o tom co je to za situaci, když v daném bodě funkce nemá derivaci (ale hrot), zda ta přímka, která se jí v tom bodě dotýká je tečna, sečna nebo vůbec nic z toho... Opět záleží na definici těch pojmů...

↑ Eratosthenes:

:-)

Vedela som, že pochopíš...

Eratosthenes napsal(a):

Tak jsem si pro jistotu vygoogloval aktuální rámcový program pro gymnázia a upřímně jsem se vyděsil. Nejenže tam není ani zmínka o derivacích, ale ani o tečnách. Kuželosečky tam sice jsou, ale probírají se jenom analyticky, takže pokud bych to vzal doslova, tak elipsa může být jenom x^2/a^2+y^2/b^2=1 a konec. O tom, že by si ji středoškolák měl nějak představit, anebo nedej bůh načrtnout nikde ani slovo. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky znovu jenom analyticky, takže tečna nejspíš zmíněna opravdu jenom stylem "dvojnásobný kořen" a šmytec. Jakákoliv představa zřejmě úplně zbytečná, a tak nakonec i to přiložení pravítka je na dnešní středoškoláky možná příliš složitá záležitost

To mě taky napadlo - že dnes, vzhledem k jistému nezanedbatelnému pokroku v naší společnosti mají možná učitelé úplně jiné starosti, než řešit definici tečen, a možná že u rovnice elipsy [mathjax]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/mathjax] jsou rádi, když studenti konečně pochopili co je to to [mathjax]x^2[/mathjax].