Matematické Fórum

Honzc napsal(a):

↑↑ surovec:
Mně vychází při použití vztahu [mathjax]\text{tg}\alpha =0.22702\frac{v}{r}[/mathjax], [mathjax]\alpha \approx 47.408^\circ [/mathjax]

Z čeho vznikla konstanta 0.22702?

Moc děkuji. Teď se ještě k finálnímu vzorci dopracovat.

Úžasné, moc děkuji. Mohl by prosím někdo z úspěšných řešitelů nasdílet postup řešení?

Tato úloha mi teď nepřipadá vhodná pro vnoučata :(

Jde o středoškoláky. Díky za poloosu b.

Ještě mě napadlo, zda budou mít dcery po rozříznutí kornoutu stejný kus oplatky, tedy zda jsou i plochy těch dvou částí kornoutu stejné 😉 Nejspíš asi ne …

↑ Eratosthenes:

Ale je to taky zajímavá úloha - najděte několik neshodných útvarů, které mají stejný objem i povrch.

Skoro 1:2, tak velký rozdíl v plochách jsem tedy nečekal, zajímavé.

↑ navi53:

Ona ta špička oproti tomu zbytku je dost "vysoká" a "úzká" a to je  pro "optimální" poměr "povrch:objem" vždycky špatně.

↑ check_drummer:

Možná by stačilo "není to hranol, ani jehlan". To mě zatím nic nenapadá, i když s nějak vhodně pokřivenou výškou by to možná vycházelo taky.

↑ Eratosthenes:
Vezměme si libovolný útvar (který má konečný povrch a objem) X a uvažujme kouli K se stejným objemem jako X. Pak lze ukázat, že K má menší povrch než X. Začněme z té koule dělat "placku" (blížící se limitně válci o nekonečně velkém poloměru podstavy, nekonečně malé výšce a tedy nekonečně velkém povrchu) a při této trasnformaci se objem zachová a plocha se zvětšuje až do nekonečna. A tedy někdy dojde k případu kdy získáme útvar se stejným povrchem jako má X.
Akorát to má háček, že bychom tak mohli získat útvar shodný s útvarem X. Pak je nutné zvolit více způsobů jak z té koule udělat placku, abychom nedospěli ke tvaru shodnému s X. Např. jeden případ může být, že začneme kouli placatět jen z jedné strany a druhý případ že z obou protějších stran najednou.

surovec napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Podle mě je ten vzorec pro vedlejší poloosu jinak:
[mathjax]b=r\cdot \sqrt{\frac{v\,·\,\cos \alpha\,-\,r\,\cdot\,\sin \alpha}{v\,·\,\cos \alpha\,+\,r\,\cdot\,\sin \alpha}}[/mathjax]

Kdosi tady má podpis "pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos". Podle toho blbnu, a to dost rychle, protože svůj chaos nějak přestávám zvládat. Ten můj vzorec

[mathjax]b=r-{{r^2\sin\alpha }\over {v\cos\alpha}+r\sin\alpha}[/mathjax]

je dobře, akorát to není vzorec pro b - vedlejší osu, ale pro poloměr rovnoběžkové kružnice, která ji omezuje a který jsem si označil r_b. Prostě jsem z té hromady čmáranic, kterou tady kolem toho mám, opsal špatný vzorec :-) Pro tu vedlejší osu je to OK - mně to vyšlo taky.

↑ surovec:
Tak ještě dlužím výpočet toho koeficentu pro [mathjax]\text{tg}\alpha =k\frac{v}{r}[/mathjax]
Označme [mathjax]\text{tg}\beta  =\frac{v}{r}=m[/mathjax]
Byl tady uveden vztah pro [mathjax]b=r\sqrt{\frac{v-r\cdot\text{tg} \alpha }{v+r\cdot \text{tg}\alpha }}[/mathjax]
Já jsem odvodil [mathjax]b=\frac{r}{2}\frac{v+r\cdot\text{tg} \alpha }{v-r\cdot \text{tg}\alpha }[/mathjax]

Pak porovnáním dostaneme  [mathjax](v+r\cdot \text{tg}\alpha )^{3}=4(v-r\cdot \text{tg}\alpha )^{3}[/mathjax]
Po označení [mathjax]\text{tg}\alpha =x[/mathjax] a zavedení [mathjax]m[/mathjax]
dostaneme kubickou rovnici [mathjax]5x^{3}-9mx^{2}+15m^{2}x-3m^{3}=0[/mathjax]
při substituci [mathjax]x=y+\frac{3}{5}m[/mathjax] přejde rovnce na [mathjax]y^{3}+3py+2q=0[/mathjax]
kde [mathjax]p=\frac{16}{25}m^{2},q=\frac{48}{125}m^{3}[/mathjax] případně [mathjax]r=\sqrt{p}=\frac{4}{5}m[/mathjax]

řešením pomocí Cardanových vztahů dostaneme [mathjax]\text{tg}\alpha =x=\frac{2\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{2}+3}{5}\frac{v}{r}[/mathjax]
goniometrickým řešením máme [mathjax]\text{tg}\alpha =x=(-\frac{8}{5}sinh(\frac{1}{3}argsinh(\frac{3}{4}))+\frac{3}{5})\frac{v}{r}[/mathjax] což se dá upravit na stejný výsledek jako předchozí.

Ovšem zajímavé je, že pro "koeficienty k" platí: [mathjax]\frac{2\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{2}+3}{5}=\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{4}+1}=\frac{2-\sqrt[3]{2}}{2+\sqrt[3]{2}}[/mathjax]

↑ Honzc:
Edit: koukám, že Eratosthenes byl rychlejší, ale už to tu nechám, když jsem si s tím dal takovou práci...
Napíšu celý postup (resp. dílčí výsledky), obrázek zde:
1) hlavní poloosa pomocí sinové věty ([mathjax]\alpha,\beta,2r[/mathjax]):
[mathjax]a=\frac{v\,\cdot\, r}{r\,\cdot\, \sin \alpha\, +\, v\,\cdot \,\cos \alpha}[/mathjax]
2) poloměr řezu kolmého k ose kuželu procházejícího středem elipsy:
[mathjax]r'=\frac{v\,\cdot\,r\,\cdot\,\cos\alpha}{v\,\cdot\,\cos\alpha\,+\,r\,\cdot\,\sin\alpha}[/mathjax]
3) výška kosého kuželu:
[mathjax]v'=v\,\cdot\,\cos\alpha\,-\,r\,\cdot\,\sin\alpha[/mathjax]
4) vedlejší poloosa (Pythagorovka - modrý trojúhelník):
[mathjax]b=r\cdot \sqrt{\frac{v\,·\,\cos \alpha\,-\,r\,\cdot\,\sin \alpha}{v\,·\,\cos \alpha\,+\,r\,\cdot\,\sin \alpha}}[/mathjax]
5) dosazení do porovnání objemů:
[mathjax]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\pi r^2 v=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{v\,\cdot\, r}{r\,\cdot\, \sin \alpha\, +\, v\,\cdot \,\cos \alpha} \cdot r\cdot \sqrt{\frac{v\,·\,\cos \alpha\,-\,r\,\cdot\,\sin \alpha}{v\,·\,\cos \alpha\,+\,r\,\cdot\,\sin \alpha}}\cdot (v\,·\,\cos \alpha\,-\,r\,\cdot\,\sin \alpha)[/mathjax]
6) Ač poslední rovnice vypadá hnusně, něco se vykrátí a po umocnění máme
[mathjax]\frac{1}{4}=\left( \frac{v\,·\,\cos \alpha\,-\,r\,\cdot\,\sin \alpha}{v\,·\,\cos \alpha\,+\,r\,\cdot\,\sin \alpha} \right)^3[/mathjax]
což už snadno vede na řešení
[mathjax]\alpha=\arctan \frac{v\,\cdot\,(\sqrt[3]{4}-1)}{r\,\cdot\,(\sqrt[3]{4}+1)}[/mathjax]
P.S.: Zlomek [mathjax]\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{4}+1}[/mathjax] přejde na [mathjax]\frac{2\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{2}+3}{5}[/mathjax] prostým usměrněním.