Matematické Fórum

No, sázím na to, že když budou všechny ty 3 části stejné, bude moment setrvačnosti nejnižší. Ten úsek na řádku 2 samozřejmě zanedbáme, předpokládám.

Můžu to zkusit i dokázat. Možná to vyjde jinak. Moment setrvačnosti tenké tyčky je $I=\frac{1}{3}m{l}^2$


Pokud tedy budeme mít tyčky o délkách a, a, b, s tím, že ještě platí a + a + b = L, bude celkový moment setrvačnosti

$I=\frac{1}{3}(m_a{a}^2+m_a{a}^2+m_b{b}^2)$

$I=\frac{1}{3}(m\cdot k\cdot a\cdot a^2+m\cdot k\cdot a\cdot a^2+m\cdot k\cdot b\cdot b^2)$

k - hmotnost vztažená na jednotkovou délku a kilogram, tedy hmotnost tyče délky a je m x k x a

Takže po zkrácení dostaneme

$I=\frac{1}{3}mk(a^3+a^3+b^3)=\frac{1}{3}mk(2a^3+b^3)$

Ty konstanty na začátku nebudou mít na řešení žádný vliv, takže stačí hledat minimum výrazu $(2a^3+b^3)$

Když si vyjádříme třeba to b, tedy b = L - 2a, tak $y=2a^3+(L-2a{)}^3$

a po zderivování máme

$\frac{dy}{da}=6a^2-6(L-2a{)}^2=0$

No, a jak by řekli matematici, bez újmy na obecnosti si zvolíme L = 1, protože extrém asi nebude záviset na tom, v jakých jednotkách měříme tu délku, takže tkanička může být vždycky dluhá jeden "metr".

$6a^2-6(1-2a{)}^2=0$
$6a^2-6(1-4a+4a^2)=0$
$6a^2-6+24a-24a^2=0$
$-18a^2+24a-6=0$
$3a^2-4a+1=0$
$a_1=\frac{1}{3}$
$a_2=1$

Druhý kořen asi nebude mít fyzikální význam, protože a nemůže být celá délka tkaničky. Vůbec bychom museli ještě trochu pořešit v jakém rozsahu může a být, aby nějaká délka nevyšla záporná, takže asi a > 0 a a < 1/2

Ale samotného mě trochu překvapilo, že to tak vyšlo, protože jsem tam měl drobnou chybu a vyšlo to trochu jinak (ale taky hezky, a už jsem hledal vysvětlení proč to tak má být).