Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 12. 05. 2024 22:54
Náhodná veličina
Dobrý den, moc bych potřebovala Vaši pomoc. Snažila jsem se na to přijít sama, viz můj výpočet, ale bohužel zde mám někde chybu. Posílám zadání a můj postup, děkuji moc za pomoc.
Zadání: Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí F(X) = 0 pro x < -1, ((x+1)^2)*(1/8) pro -1<=x<1, 1 pro x>=1.
1. mám asi špatně vypočítaní rozptyl, řekla jsem si, že jde o smíšenou funkci a sečetla diskrétní a spojitou část, ale zřejmě někde dělám chybu.
2. Určete rozdělení veličiny |x|
přikládám výpočet: 1. https://imagizer.imageshack.com/img924/9896/SZfpe7.png
2. https://imagizer.imageshack.com/img922/1151/FLDpOV.png
Děkuji moc za pomoc!
Offline
#2 13. 05. 2024 10:02 — Editoval Richard Tuček (13. 05. 2024 10:08)
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1128
- Reputace: 19
- Web
Re: Náhodná veličina
↑ Anna12:
Skutečně má distribuční funkce v bodě x=1 skok o velikosti 1/2, tzn. P(X=1) = 1/2
Střední hodnota je vypočtena dobře (ověřil jsem si to).
K výpočtu rozptylu: varX = EX^2 - (EX)^2
EX^2 = integrál od -1 do 1 z (x^2)*f(x) + (1^2)*(1/2)
EX již máme
O rozdělení náhodných veličin je též na mém webu www.tucekweb.info
Je-li f(x) hustota náhodné veličiny X, pak pro hustotu náhodné veličiny abs(X) platí:
g(x)=f(x)+f(-x) x>0
g(x)=0 x<0
Offline
#3 14. 05. 2024 10:39
Re: Náhodná veličina
Po výpočtu mi tedy vyšlo, že:
1. příklad:
EX^2 = integrál od -1 do 1 z (x^2)*((1/4)x + 1/4) + (1^2)*(1/2) = 2/3.
varX = 2/3 + 2/3 = 4/3.
2. příklad:
pro x > 0 g(x) = f(x) + f(-x) = (1/4)x + 1/4 + (-(1/4)x +1/4) = 1/2
pro x < 0.
Tedy funkce hustoty veličiny abs(X) je:
g(x)= 1/2 pro x > 0, 0 pro x < 0.
a distribuční funkce G(x) je poté 0 pro všechna x?
Je to takhle správně? Jinak děkuji moc!
Offline
#4 14. 05. 2024 13:39 — Editoval Richard Tuček (14. 05. 2024 13:47)
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1128
- Reputace: 19
- Web
Re: Náhodná veličina
↑ Anna12:
Asi to není úplně správně.
EX^2 = 2/3
varX = E(X^2) - (EX)^2 = 2/3 - (2/3)^2 = 2/3 - 4/9 = ....
(rozptyl nesmí být záporný)
hustota veličiny abs(X) je skutečně g(x) = 1/2 pro 0<x<1
v bodě x=1 je skok o velikosti 1/2
E(abs(X))=( integrál od -1 do 1 z x*1/2) + 1*1/2 =... = 3/4
Distribuční funkce nemůže být identická 0.
G(x)=0 pro x<=0
G(x)=x/2 pro 0<=x<1
G(x) = 1 pro x>=1
má opět skok v 1
Offline
#5 14. 05. 2024 15:32
Re: Náhodná veličina
Je mi jasné, že nemuze byt rozptyl zaporny, predtim jsem misto znamenka mínus omylem pouzila plus.
Avšak chybu stále ve výpočtu nevídím. Postupuji: EX^2 = integrál od -1 do 1 z (x^2)*((1/4)x + 1/4) + (1^2)*(1/2)
Integrál mi vychází jako 1/6 a zbytek 1/2, po sečtení mi to tedy dává 2/3.
Dobre, děkuji moc, takze funkce hustoty je g(x) = 1/2 pro 0 < x < 1 a pro hodnoty x>=1 a x <0 je to 0.
Stále mi tu nedochází, proč to nemá být 1/2 pro 0 < x <=1, včetně té 1, po dosazení do /(1/4)x + 1/4) mi vychází 1/2 totiž, proč tam tedy nebude zahrnutá?
E(abs(X))^2 = ( integrál od -1 do 1 z (x^2)*1/2) + (1^2)*1/2 = 1/3 + 1/2 = 5/6.
Var(abs(X)) = 5/6 - (3/4)^2 = 3/48.
Offline
#6 15. 05. 2024 14:26
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1128
- Reputace: 19
- Web
Re: Náhodná veličina
↑ Anna12:
Distribuční funkce G(x) má v bodě x=1 skok o velikosti 1/2
P(0<X<1) = integrál z g(x) od 0 do 1 = 1/2
P(X=1)=1/2
Distribuční funkci můžeme rozložit na diskrétní a spojitou část.
Offline