Matematické Fórum

Skrytý text:

Nejdříve trochu teorie
Při vynásobení P.t. jakýmkoliv přirozeným číslem dostaneme opět P.t.
Zvolme [mathjax]a=p^{2}-q^{2},b=2pq,c=p^{2}+q^{2}[/mathjax]
Opravdu platí [mathjax]a^{2}+b^{2}=p^{4}-2p^{2}q^{2}+q^{4}+4p^{2}q^{2}=(p^{2}+q^{2})^{2}=c^{2}[/mathjax]
Pak i [mathjax]n(a^{2}+b^{2})=nc^{2}[/mathjax] přičemž [mathjax]n,p,q\in N[/mathjax] a [mathjax]p>q[/mathjax]
Vhodnou kombinací n,p,q lze tedy dostat libovolný P.t.
Teď něco mimo soutěž. Je zřejmé (z b=2pq), že každý P.t obsahuje alespoň jedno sudé číslo (tedy alespoň jedna ze stran P.t. je beze zbytku dělitelná 2)
Dále se budeme zabývat pouze takovými P.t., kde n=1.
1.Končí-li čísla [mathjax]p\vee q[/mathjax] číslicí [mathjax]0\vee 5[/mathjax] bude [mathjax]b=2pq\equiv 0\,mod\,5[/mathjax] (tj b je dělitelné 5)
2.Utvořme tabulku (vynecháme koncové číslice 0 a 5 - máme dokázáno viz.1)
[mathjax]p,q[/mathjax] končí číslicí    1,2,3,4,6,7,8,9
[mathjax]p^{2},q^{2}[/mathjax] končí číslicí  1,4,9,6,6,9,4,1
[mathjax]p^{2},q^{2} \,(mod\,5)\equiv [/mathjax]1,4,4,1,1,4,4,1
Pak jedno z čísel [mathjax]p^{2}-q^{2}=a\vee p^{2}+q^{2}=c \equiv 0\,(mod\,5)[/mathjax] (tj a nebo c je dělitelné 5)

Skrytý text:

Čtverec mod 5 může nabýt jen hiodnot 0,1,4 - a tedy pokud ani jedno z čísel a,b neni 0 (mod 5), tak tedy a,b budou 1 nebo 4 (mod 5) a z nich nikdy nezískám součet rovný 1 nebo 4 (mod 5) - a tedy z nich musím dostat součet 0 (mod 5).

Skrytý text:

Polozme [mathjax]x^2+y^2=z^2[/mathjax] .
Predpokladajme kontradiktoirne, [mathjax]xyz  \not\equiv 0[/mathjax]  (mod 5).
Vtedy [mathjax]x^2, y^2, z^2 [/mathjax] su [mathjax]\equiv [/mathjax] 1 alebo 4 (mod 5)
a tak [mathjax]x^2+y^2[/mathjax]musia byt 1+1, 4+1, 4+4 cize 2, 0 alebo 3 (mod 5).
No vsak  [mathjax]z^2[/mathjax] musi byt 1 alebo 4 (mod 5).
Co nam da spor.