Matematické Fórum

Dobry den, mam grupu [mathjax]G=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}  [/mathjax] s operaciou klasickeho scitavania [mathjax]+[/mathjax]. Mam za ulohu najst invarianty of group action a overit ze ide o group action - uloha je z anglickej literatury a neviem to prelozit presne.

Moj postup: Dokazeme, ze ide o group action. Myslim, ze grupa "acts" on [mathjax]\mathbb{R}^2[/mathjax] pretoze plati: [mathjax](m,n) \cdot (m+x, n+y)[/mathjax] a musime overit dve podmienky, prva plati lebo "identity element" je [mathjax](0,0)[/mathjax] (je to tak? nie som si isty) a overenie druhej podmienky: [mathjax](m_1,n_1) \cdot  [(m_2,  n_2) \cdot (x,y)] = (m_1 + m_2, n_1 +  n_2) \cdot (x,y)[/mathjax] Takze to je group action. Teraz tie invarianty. Definicia invariantov je, ze musi platit: [mathjax]g \cdot f = f[/mathjax] pre vsetky [mathjax]g[/mathjax]. Hmm a tu uz neviem ako dalej. Ale skusim:

Musi platit (neviem ?? ): [mathjax](m,n) \cdot  (x,y) = (x,y)[/mathjax] Ano? V tom pripade by som hadal, ze invariant je len jeden a je to [mathjax](1,1)[/mathjax] lebo [mathjax](1,1) \cdot  (x,y) = (x,y)[/mathjax].
Poradte niekto, dakujem vopred.