Matematické Fórum

V #2, sme dokali, ze nasa rovnica sa pise po transformaciach
1.k+0.l+0.m+0.n =5
( ktora sa ozaj trivialne riesi k=5 a l, m, n lubovolne cele cisla).
A to nam okamzite da ( vdaka poslednej upravenej matici)
$5\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+l\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+m\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$  kde l, m, n su lubovolne cele cisla.
Oznacme tuto maticu R,a mozne konstatovat, ze jej suradnice x, y, z, t vyjadruju riesenie nasej rovnice

Poznamka:
Iste ste videli, ze napr, elementarne transformacie na stlcoch matice (2 7 8 9) v prvej “étape” su na jej stpcoch :S2–>S2-3S1; S3–>S3-4S1; S4–>S4-4S1 .
tie ine vam necham  overit.


Tiez podla tohto modelu si sami doplnte vseobecny dokaz problemu z #1.

Dakujem kolegovy MichalAdd za upozornenie nepresnohon latexoho vyrazu, ktory vdaka nemu opravil.

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Ta matica typy (4;4) sa tvori presne tak ako matice (1 0 0 0) z matice (2 3 8 9)
Ide o tvorenie « schodovitej matice na stlpcoch » ( tento terme som nenasiel na sk internete, no mozes ma poucit aku termologiu pouzivate)  (po francuzky : matrice échelonnée en collons , po angl. matrix in column échelon forn).  Pochopitelne tu elementarne operacie musia  byt v celych cislach.  V # 3 som presne popisal pouzite transformacie z matices v #2 z prveho riadku na druhy. 

À treba podobne pokracovat az do obdrzania matice (1 0 0 0)

(Iste si konstatoval ze v riesenom priklade najvedci spolocny delitel cisiel 2; 3; 8; 9 a 5 je 1).

O takychto metodach sa mozes poucit v  Algerbrickej algoritmike ….ak u vas o tom nieco take existuje.

Poznamka. Analogicke upravy ale na riadkoch matic najdes tu .

Pozdravujem ↑ MichalAld:

Mas pravdu ten vyraz som spatne napisal, ( chyba tam k=5, l, m, n)
  islo o prepis rovnice z druheho riadku v #2…tej super jednoduchej rovnice k+0.l+0.m+0.n =5).
Ten vyraz je matica R z #3. 

Dakujem za toto,upozornenie .
Opravim to aj v #3 .

↑ MichalAld:
Pozdravujem
Princip riesenia je pri rovnicích tohto typu v tranformach matice  podobného typu ako (k, l, m, n) ku matrici (1 0 0 0)  tu typu  (1. 4)  takými istymi elemtatnimi trasfrmaciami na jednotkovej matici typu (4,4). 
No skus to sám aplikovat na riesenie  diofantickej rovnici
2x+5y+6z+7t=11  celymi cislamy. 
A porovnaj to z inymi metodami riesenia ktore poznas.

Neviem co volas priame riesenie?

vanok napsal(a):

Neviem co volas priame riesenie?

No otázka zní, jestli tímhle postupem dostaneme už řešení, nebo to jen převedeme na jinou diofantickou rovnici, která má ale nižší řád (má jen 3 proměnné zatímco původní měla 4) a musíme celý postup opakovat tak dlouho až se dostaneme k tomu, že máme proměnnou jen jednu.

Tedy, když tam budeme mít 10 proměnných tak jestli to musíme provést 10x, nebo jestli to stačí jednou.

↑ MichalAld:
l,m,n si môžeš zvoliť ľubovoľne.
Pre každú trojicu celých čísel (l,m,n) je štvorica
$(x,y,z,t)=(-15+7l-4m-n,5-2l-n,m,n)$
riešením rovnice
$2x+7y+8z+9t=5$

Pozdravujem ↑ MichalAld:

Tiez by bolo zaujimave riesit diofanticku rovnicu ax+by=c ( kde a,b, c su cele cisla) v celych cislach. 
Priklad 5x+2y=8.

V tejto jednoduchejsej situacii mozes skusit popisat niekolko roznych metod.

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Vidim, ze ssi sa dal do tejto temy velmi seriózne.
Ked ukoncis tie dva problemy z#14 a#15, tak potom to spolu analyzujeme. 

Dufam, ze si prezil pekne Viancne sviatky a tiez prajem vsetko pozitivne  do Noveho roku 2025. A to iste aj vsetkym citatelem tychto riadkov.

vanok napsal(a):

Pozdravujem ↑ MichalAld:

Dufam, ze skusis vyriesit rovnicu z #9.
Cize nast sam  riesenie  diofantickej rovnici
2x+5y+6z+7t=11  celymi cislamy.

↑ vanok:

vanok napsal(a):

Pozdravujem ↑ Eratosthenes:,

Taketo rovnice sa daju riesit viacerimy metodami.

Ano,

tady jsem řešil kongruencemi

tady

zase jinak.

Řešení pomocí matic je sice mechanické, ale připadá mi to nějaké zdlouhavější.

↑ vanok:

Přiznám se, že odkazy typu #21 nechápu - nikdy jsem podle nich nic nenašel :-)

Modulární aritmetika se mi zdá na řešení diof. rovnic velice dobrá - je použitelná i na jiné rovnice než jen lineární (nevím, jak bych maticemi řešil třeba 7x^2+5y=13, přitom modulo 5 je to jednoduché)

Najít jen nezáporná řešení je ale problém (pokud je víc neznámých, tj. i víc parametrů). Nakreslit si přímku s nějakými body je hezké, nakreslit si za stejným účelem rovinu je už horší a se třemi a více parametry končíš definitivně. Nějakou obecnou metodu jsem nikde nenašel...

Zdravím, zkoušel jsem dle postupu #2 řešit tuto rovnici:
$12x+21y+9z+15t=9$

Následovně jsem vypočítal koeficienty čtvercové matice:

$[b_{1,1}=-\left(\frac{15b_{4,1}+9b_{3,1}+21b_{2,1}-1}{12}\right),b_{1,2}=-\left(\frac{5b_{4,2}+3b_{3,2}+7b_{2,2}}{4}\right),b_{1,3}=-\left(\frac{5b_{4,3}+3b_{3,3}+7b_{2,3}}{4}\right),b_{1,4}=-\left(\frac{5b_{4,4}+3b_{3,4}+7b_{2,4}}{4}\right)]$

Dostal jsem se k tomuto výsledku:
$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}12& 21& 9& 15\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}\frac{-2}{3}& -7& -3& -5\\ 0& 4& 0& 0\\ 1& 0& 4& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$

Ale ten zlomek se mi vůbec nelíbí (lépe se mi to nepovedlo).
Nicméně výsledek po dosazení vypadá správně:

$[x,y,z,t]=[-5c-3b-7a-6,4a,4b+9,4c]$