Matematické Fórum

Ahoj,
téma navazuje na toto, kde jsme sčítali jen kladná čísla (podstatné příspěvky z tohoto tématu jsou #2 a #4, resp. #5 a #114).

Nyní chceme sčítat nespočetně mnoho kladných i záporných reálných čísel xi. Opět si to představme jako zobecnění součtu řady, kdy běžný součet sčítá končně mnoho čísel a pomocí řady "sčítáme" spočetně mnoho čísel.

S následujícími body lze polemizovat:

Vzhledem k Rieamnnově větě o přerovnání neabsolutně konvergentní řady bude asi nutné zvolit nějaké pevné pořadí čísel xi a nepovolit změnu jejich pořadí. K tomu asi budeme potřebovat dobré uspořádání množiny reálných čísel, předpokládejme tedy že indexy i jsou z nějaké dobře uspořádané množiny - a tedy máme čísla x1,x2,...

Ten součet se nabízí definovat tak, vezme "prvních" spočetně mnoho čísel xi (konkrétně k prvnímu limitnímu ordinálu - $\omega$) (jejich množinu označme M1), tato čísla "sečteme" pomocí definice součtu řady (je jich spočetně mnoho, takže definici lze použít) a výsledným součtem s1"nahradíme" součet čísel z množiny M1. Tím se "zbavíme" prvního limitního ordinálu a dále budeme pokračovat stejným způsobem. Formálně by šlo tento postup definovat transfinitní rekurzí.

Vlastně tak máme "za sebou" umístěno několik (konkrétně nespočetně) řad, které postupně sčítáme.

Otázky:
1) Je vždy mezi dvěma limitními ordinály jen spočetně mnoho prvků (a je tedy tento postup korektně definován)?
Myslím, že ano. Ale nejsem si teda jistý u toho posledního orinálu - prvního nespočetného, zda i jemu "přímo předchází" jen spočetně mnoho nelimitních ordinálů.

2) Co kdybychom použili stejný postup jako v důkazu o nemožnosti konečného součtu nespočetně mnoha kladných čísel?
Potom tedy získáme že nespočetně mnoho kladných xi je >= než nějaké (1/2)^k nebo že nespočetně mnoho záporných xi je <= než nějaké -(1/2)^k (nebo obojí - a jedině v tom případě si myslím, že máme šanci aby ten součet byl konečný). A otázka je, zda je to překážka v tom, že takový součet nemůže existovat... Nevím.

3) Existují vůbec nějaká taková xi s konečným součtem?
Nevím.

4) Co když některá z výše uvedených řad (v definici součtu výše) diverguje nebo nemá součet? Je potom nějaká šance že potom budou mít všechna čísla xi konečný součet?

To je otázka, dalo by se to jednoduše definovat tak, že nemůže a nebo se pokusit to napravit. Náprava by mohla spočívat v tom, že se pokusíme např. sečíst dvě řady, které se nacházejí "za sebou" - a kdyby např. jedna z nich měla součet "+nekonečno" a druhá "-nekonečno", tak by mohla existovat šance, že kdybychom je sečetli obě "najednou", že ten součet bude konečný. Kdybychom mohli přerovnávat prvky, tak by to mohlo být snadnější, ale to nemůžeme - viz Riemannova věta.

Možná by šlo ty dvě řady přerovnat jen "trochu", nevím na kolik by to bylo korektní, ale mohl bychom třeba sčítat je obě najednou, tj. částečný součet (ze kterého pak děláme limitu v definici součtu řady) by uvažoval součet prvních n členů první a první n členů druhé posloupnosti. A nebo obecněji prvních n členů první a prvních f(n) členů druhé, kde funkce f je rostoucí a neomezená.
Ale asi je potřeba nějak vyřešit to, kdyby první řada měla tvar +1-1+1-1+.. a druhá -1+1-1+1-... A nebo taky ne, prostě bychom podle této definice řekli že jejich součet je 0....
A kdyby i to nevyšlo, tak bychom se mohli pokusit takto najednou sečíst i víc řad, možná i spočetně mnoho....

Ale myslím že to zatím stačí, třeba se někdo přidá.
ještě musím nějak vymyslet jak eliminovat integrování, protože tyto nešvary tu nechceme zanášet. :-) Nejde nám o nějaké "libovolné" zobecnění, ale jen o takové jaké jsem se snažil popsat a definovat. Ale možná ta elliminace proběhne jednoduše tak, že dle toho co dříve zaznělo musí platit, že ten součet musí být pro nespočetně mnoho kladných čísel xi "nekonečno" (resp. že ten součet diverguje).