Matematické Fórum

↑ Richard Tuček:dekuji,  vas dukaz se mi libi, ten ve skriptech ale bohuzel neni tak elegantni

↑ marie.kolinova:

Ahoj,

nějakou Bečvářovu lineární algebru mám, ale důkaz takového tvrzení ani tvrzení samotné jsem tam nenašel. To, co říká kolega Tuček, je sice pravda, ale věta v zadání tvrdí podle mě něco jiného. Chtělo by to přesné znění věty a nejlépe i ten důkaz (třeba ofotit a dát sem odkaz na obrázek).

↑ Eratosthenes:dala jsem odkaz na skripta, jde o větu 8.15

Já to taky nechápu. Teda, né že bych nechápal to odvození, ale nějak nechápu, co se má vlastně předpokládat a co je s čím ve sporu. Má se předpokládat, že to jde, nebo že to nejde?

↑ marie.kolinova:

Občas když ve větě nejsou kvantifikátory, je trochu nepřehledná.

Tato věta by se dala formulovat jako:

"pro libovolných n lin. nezávislých vektorů u(i) neexistuje n-1 vektorů v(i) takových, že každý vektor u(i) lze vyjádřit jako lineární kombinace vektorů v(j)"

↑ check_drummer:
Ona ta věta 8.15 má v těch skriptech dvě části - kromě (i) ještě (ii), což je vlastně obměna Steinitzovy věty, které se tam uvádí jako důsledek.

Čili by to mělo  být naopak: ne že Stein. věta se použije k důkazu (i), ale (i) se použije k důkazu Stein. věty.

↑ check_drummer:

To je důkaz z těch skript, jenomže tam je uvedena soustava (1) a klasické "po jednoduchých úpravách (2)". Tak jsem jen předvedl ty jednoduché úpravy, protože i na ně bylo dotazováno. A pak jsem se ztratil v tom sporu, protože je možná dobře, ale určitě je popsaný blbě a nepochopil jsem to.

↑ marie.kolinova:

Jako masakr to jenom vypadá. V podstatě je to jednoduché, jenom manipulujěš se spoustou "velkých výrazů". Ten spor by měl být až dál.

Mě by pro začátek stačilo vědět, zdali ono:

n lineárně nezávislých vektorů prostoru V není možno vyjádřit jako lineární
kombinace n − 1 vektorů prostoru V .

a následně:

Předpokládejme že platí pro n.

Jestli se má předpokládat, že je není možno vyjádřit, nebo že je možno je vyjádřit.

A které že ty vektory jsou ty "n lineárně nezávislých vektorů", jestli ty "u" nebo ty "v".


(vycházím z toho, že když napíšu správné otázky, tak na ně nejspíš najdu i odpovědi).


Ještě by mě taky zajímalo, jestli se při provádění důkazu nepoužívá spíš tvrzení
n+1 lineárně nezávislých vektorů prostoru V není možno vyjádřit jako lineární kombinace n  vektorů prostoru V .

Ale tu indukci a spor dohromady mi teda hlava úplně nebere.

Je tam další "předpokládejme", předpokládejme že máme vektory $u_1,u_2...u_n,u_{n+1}$ které jsou lineárně nezávislé. No, na tom asi není nic špatného.

Ale pak - je vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů $v_1,v_2...v_n$
A tady už se v tom logicky ztrácím, jak je můžeme takto vyjádřit, když jsme předpokládali, že to nejde?


Dál je mi to celkem jasné - že vyjádříme vektor $v_n$ (nemusí to být zrovna $v_n$, mohl by to být některý jiný, podle toho, kde bude nenulový koeficient), dostadíme a dostaneme tu sadu rovnic (2). To co nám tu Erathostenes tak podrobně rozepsal. Je to jen úprava, vyjádření jednoho vektoru a dosazení - a pak ty kombinace koeficientů se nahradí novými písmenky.


Vytvořili jsme nových n vektorů, které bychom mohli označit třeba $w_i$, s tím, že $w_i=u_i+c_i{u}_{n+1}$.

No a pak je tam ten důkaz, že $w_i$ musejí být nezávislé, když jsou nezávislé $u_i$. To mi přijde celkem zřejmé, ale klidně to můžu trochu víc rozepsat, když by někdo chtěl.

Takže závěr je, že vektory $w_i$, kterých je n, jsou lineárně nezávislé, a jsou vytvořeny jako lineární kombinace vektorů $v_i$, kterých je (n-1). To jsou ty rovnice (2) a je to tedy spor s tím úvodním předpokladem, že to nemá jít.
Ještě připomínám, že vektory $w_i$ jsem zavedl až já, v originálním textu takto označené nejsou.

↑ MichalAld:A není to spíše tak, že jsme ukázali, že věta platí pro n=1 a předpokládali jsme, že platí i pro n a sporem jsme dokázali pro n+1 (tedy princip matematické indukce)?

Ten spor je jasný, označme si to tvrzení co cheme dokázat jako V(n). Pro spor předpokládáme negaci indukčního kroku, tedy že pro nějaké n platí V(n) a nonV(n+1). Ale my jsme z nonV(n+1) odvodili nonV(n), což je spor. Taky by se to dalo chápat tak, že jsme dokázali obměnu implikace z indukčního kroku.