Matematické Fórum

čítač · 06. 12. 2024 14:31

Dobrý den, nevíte jak vypočítat tento integrál:

$\int \frac{4 x + 1}{{(x^{2} + 9)}^{3}} d x$

check_drummer · 06. 12. 2024 14:54

↑ čítač:
Ahoj, na veřejnosti již nějakou dobu neintegrruji, ale nešel by použít rozklad na parciální zlomky?

surovec · 06. 12. 2024 15:34

↑ čítač:
Koukni na ten jmenovatel, vypadá to na arctan, $x^{2} + 9 = 9 ({(\frac{x}{3})}^{2} + 1)$ .

Skrytý text:
Zkus substituci

x = 3 \tan u

, to pak povede na takové "normální" integrály.

Richard Tuček · 06. 12. 2024 16:03

↑ čítač:
Integrál 1/(1+x^2) = [arctg x]
Použijeme substituci uvedenou výše a převedeme ho na tento tvar.
Integrál rozložíme na 2, Integrál 2x/(1+x^2)^3 vyřešíme substitucí y=1+x^2, dy = 2x dx,
Existuje rekurentní vzorec na Integrál 1/((1+x^2)^n), viz též můj web www.tucekweb.info, sekce matematika, primitivní funkce.
Je to tam v doc formátu, tam je i odvození toho vzorce.

Eratosthenes · 06. 12. 2024 17:45

↑ čítač:

Ahoj,

to máš snad za trest, ne? :-)

$\int \frac{4 x + 1}{(x^{2} + 9)^{3}} d x = \int \frac{4 x}{(x^{2} + 9)^{3}} d x + \int \frac{1}{(x^{2} + 9)^{3}} d x$

První integrál je jednoduchý - subst t=x^2+9, druhý subst. x=3.tg t bude trochu maso...

MichalAld · 06. 12. 2024 18:30

Lehce si vzpomínám, že většina integrálů se řeší uhádnutím vhodné substituce, ale některé je lepší řešit přímo uhádnutím řešení.

Eratosthenes · 06. 12. 2024 20:02

↑ MichalAld:

:-) Tak hádej, hádej, hadači...

Eratosthenes · 06. 12. 2024 20:15

↑ čítač:

laszky · 06. 12. 2024 23:47

↑ čítač:

Ahoj, vyuzij toho, ze pro $I_{n} = \int \frac{d x}{(a^{2} + x^{2})^{n}}$ plati

$I_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n a^{2}} I_{n} + \frac{1}{2 n a^{2}} \cdot \frac{x}{(a^{2} + x^{2})^{n}}$

Platnost vzorecku si muzes snadno dokazat sam, kdyz ho zderivujes.

čítač · 07. 12. 2024 12:29

Děkuji všem za rady, díky rekurentnímu vzorci se mi podařilo vyřešit i ten druhý integrál.

Eratosthenes · 08. 12. 2024 09:52

↑ čítač:

Rekurze je pro zbabělce :-) My, odvážní dobrodruzi, to děláme takto:

krakonoš · 21. 12. 2024 00:33

↑ čítač:
Ahoj, při výpočtu druhého integrálu by se také dala použít substituce hyperbolického sinu, je tam spojitost oproti TG, kdyby se měl dělat ještě rozbor, na kterých intervalech to funguje.

Eratosthenes

↑ krakonoš:

V obou substitucích je

D(f)=D(F)=R

A je po rozboru :-)

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2024 14:31

Neurčitý integrál

#2 06. 12. 2024 14:54

Re: Neurčitý integrál

#3 06. 12. 2024 15:34

Re: Neurčitý integrál

#4 06. 12. 2024 16:03

Re: Neurčitý integrál

#5 06. 12. 2024 17:45

Re: Neurčitý integrál

#6 06. 12. 2024 18:30

Re: Neurčitý integrál

#7 06. 12. 2024 20:02

Re: Neurčitý integrál

#8 06. 12. 2024 20:15

Re: Neurčitý integrál

#9 06. 12. 2024 23:47

Re: Neurčitý integrál

#10 07. 12. 2024 12:29

Re: Neurčitý integrál

#11 08. 12. 2024 09:52

Re: Neurčitý integrál

#12 21. 12. 2024 00:33

Re: Neurčitý integrál

#13 22. 12. 2024 08:35 — Editoval Eratosthenes (22. 12. 2024 08:35)

Re: Neurčitý integrál

Zápatí