Matematické Fórum

Prvočíslo

U první substituční metody bereme jako substituci $t = φ (x)$ , u druhé substituční metody $x = φ (t)$ , přičemž tam pak musíme zajistit, že existuje inverze a že derivace je nenulová. Ono často se dají použít obě metody, ovšem já někdy nevím, kterou zrovna používám.

Např. když hledám primitivní funkci k $\frac{1 + \tan^{2} x}{(1 + \sin 2 x)^{2}}$ , tak volím $t = \tan x$ . A když si vyjádřím $x = \arctan t$ , abych to pak zderivoval, tak jsem provedl inverzi. Ovšem pak stejně dosazuju do výrazu $t$ , a ne $x = \arctan t$ (díky $\sin x \cos x$ vyjádřeného pomocí $t$ )

Nebo bych si také mohl zderivovat ten $\tan x$ a po dosazení za $\cos^{2} x$ pomocí $t$ bych pak pro $d x$ dostal to samé, takže bych pak nemusel invertovat.

Tedy: pokud invertuju, tak bych měl zkontrolovat, že to lze, obecně. Ale pokud stejně po invertování dosazuji něco ve tvaru $t = φ (x)$ , tak jde vždy zkrátka o první substituční metodu?

Bati · 10. 12. 2024 13:51 — Editoval Bati (10. 12. 2024 13:58)

Prvočíslo napsal(a):
Ono často se dají použít obě metody, ovšem já někdy nevím, kterou zrovna používám.

Postupy "vypoctu" neurcitych integralu pres substituci se casto provadeji spise neformalne pomoci derivace substitucnich vztahu jak pises, s tim ze se mlcky predpoklada, ze tyto operace davaji smysl alespon na nejakem intervalu. Pokud to ma clovek formalizovat ve smyslu prvni a druhe substitucni vety, musi se pridat pomerne detailni predpoklady, ktere v praxi nikdo neoveruje, protoze u integralu je jednodussi jakymkoliv pseudozpusobem vysledek "uhodnout" a nasledne vysledek zderivovat, coz k formalni validaci staci.

Dovolil bych si tvrdit, ze substitucni veta dostava vetsi vyznam teprve v R^n a v obecnych prostorech s mirou, a zminene prvni a druha subst. vety se daji chapat jako spec. pripady.

Prvočíslo · 10. 12. 2024 15:11

↑ Bati: No, v praxi ty předpoklady třeba nikdo neověřuje, ale u zkoušky to budou chtít ověřit 😁

Bati · 10. 12. 2024 16:28

↑ Prvočíslo:
Ok, no na prikladu te tangensove substituce vidis, ze je potreba se omezit na interval (-pi/2 + kpi, pi/2 + k pi) uz jen kvuli definicnimu oboru tangens. Na techhle intervalech je tangens rostouci a ma derivaci, takze inverzni funkce take a potom 1. a 2. substitucni metody musi byt ekvivalentni. Pozor ale na to, ze tvuj integrand ma take omezeny definicni obor.

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2024 23:58 — Editoval Prvočíslo (09. 12. 2024 23:59)

Jak poznat, o jakou substituční metodu se jedná?

#2 10. 12. 2024 13:51 — Editoval Bati (10. 12. 2024 13:58)

Re: Jak poznat, o jakou substituční metodu se jedná?

Prvočíslo napsal(a):

#3 10. 12. 2024 15:11

Re: Jak poznat, o jakou substituční metodu se jedná?

#4 10. 12. 2024 16:28

Re: Jak poznat, o jakou substituční metodu se jedná?

Zápatí