Matematické Fórum

matge · 10. 12. 2024 08:35

Dobré ráno,
lze nějak jednoduše z parametrické rovnice křivky určit parametr, pro nějž má křivka uzlový bod?

$k (t) = [t^{2} - t + 2; t^{3} - 3 t], T \in< - 3; 3 >$

má vyjít, že vyjde pro bod [4; 2], což odpovídá parametrům k(-1), k(2).

Což je v zadání, že se mají nalézt tečny pro body k(-1), k(2), k(1), kdy po dosazení vyjde jeden bod. Ale nikde jsem nenašel postup nebo návod, jak obecně přijít na souřadnici uzlového bodu, pokud mám pouze rovnici křivky.

Někde na wolframu je pouze popsáno, že pokud je zadána funkce v podobě f(x,y)=0, pak musí platit pro uzlový bod $f = f_{x} = f_{y} = 0$ (parciální derivace podle, x,y), ale vzorový příklad také nikde.

Díky za radu.

check_drummer · 10. 12. 2024 11:25

↑ matge:
Ahoj, jak máte definovaný uzlový bod?

Eratosthenes

↑ matge:

Ahoj,

v uzlovém bodě křivka protíná sama sebe, tj. pro dvě různé hodnoty parametru $t_{1} \neq t_{2}$ (popř. více různých hodnot)
dostaneš stejný bod x;y. Konkrétně v tvém případě to znamená řešit soustavu

$t_{1}^{2} - t_{1} + 2 = t_{2}^{2} - t_{2} + 2$
$t_{1}^{3} - 3 t_{1} = t_{2}^{3} - 3 t_{2}$

Nic jednoduššího mě bohužel nenapadá.

matge · 10. 12. 2024 17:09

↑ Eratosthenes:
ano, tohle bych pochopil a vycházel z toho, ale mám trochu blok dopočítat přímo ta konkrétní k, nechce mi to vycházet ani vyjádřením jedné rovnice a dosazním do druhé ani jinak.

matge · 10. 12. 2024 17:33

[re]p643982|check_drummer[/re
Velmi vágně, jako bod, v nemž se křivka protne (resp. existuje více tečen)

check_drummer · 10. 12. 2024 21:17

↑ matge:
Takže bod, kde má křivka hrot se za uzlový nepovažuje? A když se křivka protne v bodě, kde má ale jen jednu tečnu, tak ten se také za uzlový nepovažuje? Protože se křivka může protnout v bodě, kde mají oba části té křivky stejnou tečnu.

Eratosthenes · 10. 12. 2024 21:34

↑ matge:

V bodě, kde křivka protíná sama sebe, může existovat více tečen, ale můýe taky být jenom jedna, anebo dikonce žádná.

Eratosthenes

↑ check_drummer:

Hrot není uzlový bod. y=|x| v nule je hrot, ale ne uzel.

Honzc · 10. 12. 2024 22:49 — Editoval Honzc (11. 12. 2024 07:52)

↑ matge:
Z parametrických rovnic (z x(t) vyjádřit t a dosdit do y(t)) lze odvodit implicitní tvar křivky.
Vychází mi $x^{3} - 12 x^{2} + 42 x + 3 x y - y^{2} - 8 y - 44 = 0$
Pak spočítat $f_{x}^{'} = 3 x^{2} - 24 x + 42 + 3 y = 0, f_{y}^{'} = 3 x - 2 y - 8 = 0$
Z této soustavy vyjde $x = {\frac{5}{2}, 4}$ vyhovuje $x = 4$ a $y = 2$
Uzlový bod je tedy $(4, 2)$
Znovu už bych to počítat tímto způsobem nechtěl.
Obrázek

laszky · 10. 12. 2024 23:47

↑ Eratosthenes:

No kdyz

$t_{1}^{2} - t_{1} + 2 = t_{2}^{2} - t_{2} + 2$
$t_{1}^{3} - 3 t_{1} = t_{2}^{3} - 3 t_{2}$

tak

$(t_{1} - t_{2}) (t_{1} + t_{2} - 1) = 0$
$(t_{1} - t_{2}) (t_{1}^{2} + t_{1} t_{2} + t_{2}^{2} - 3) = 0$

A pak uz to vede jen na kvadratickou rovnici.

Eratosthenes · 11. 12. 2024 00:16

↑ laszky:

Jo, jo, anebo tak:

$t_{1}^{2} - t_{1} + 2 = t_{2}^{2} - t_{2} + 2$
$t_{1}^{3} - 3 t_{1} = t_{2}^{3} - 3 t_{2}$

$t_{1}^{2} - t_{2}^{2} = t_{1} - t_{2}$
$t_{1}^{3} - t_{2}^{3} = 3 (t_{1} - t_{2})$

$(t_{1} + t_{2}) (t_{1} - t_{2}) = t_{1} - t_{2}$
$(t_{1} + t_{2}) (t_{1}^{2} - t_{1} t_{2} + t_{2}^{2}) = 3 (t_{1} - t_{2})$

$t_{1} + t_{2} = 1$
$t_{1}^{2} - t_{1} t_{2} + t_{2}^{2} = 3 (t_{1} - t_{2})$

check_drummer · 11. 12. 2024 18:25

↑ Eratosthenes:
reagoval jsem na tu poznámku v #5 "(resp. existuje více tečen)". Ovšem pokud pro nějaké dva různé parametry t1,t2 platí k(t1)=k(t2), tak to ještě neznamená, že se křivka musí protnout, může se sama sebe dotýkat. Ale pokud uzlový bod definujeme prostě tak, že platí ta rovnost, tak ok.

Eratosthenes · 14. 12. 2024 19:25

↑ check_drummer:

Mělo by se rozlišovat:

Násobný bod - bod, ve kterém pro nějaké dva různé parametry (nebo více různých parametrů) t1,t2 platí k(t1)=k(t2). Ten může být

uzlový - je tam více tečen (křivka se protíná)
taknodální - je tam jedna tečna (křivka se dotýká)
ryze singulární - není tam žádná tečna, jenom (případně) polotečny (například splynou dva body vratu).

popř. libovolná kombinace těchto tří případů.

check_drummer · 15. 12. 2024 20:49

↑ Eratosthenes:

Ještě ti tam chybí jeden případ - a sice, že je tam jedna tečna, ale křivka se protíná...

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2024 08:35

Uzlový bod křivky

#2 10. 12. 2024 11:25

Re: Uzlový bod křivky

#3 10. 12. 2024 16:50 — Editoval Eratosthenes (10. 12. 2024 17:02)

Re: Uzlový bod křivky

#4 10. 12. 2024 17:09

Re: Uzlový bod křivky

#5 10. 12. 2024 17:33

Re: Uzlový bod křivky

#6 10. 12. 2024 21:17

Re: Uzlový bod křivky

#7 10. 12. 2024 21:34

Re: Uzlový bod křivky

#8 10. 12. 2024 21:35 — Editoval Eratosthenes (10. 12. 2024 22:43)

Re: Uzlový bod křivky

#9 10. 12. 2024 22:49 — Editoval Honzc (11. 12. 2024 07:52)

Re: Uzlový bod křivky

#10 10. 12. 2024 23:47

Re: Uzlový bod křivky

#11 11. 12. 2024 00:16

Re: Uzlový bod křivky

#12 11. 12. 2024 18:25

Re: Uzlový bod křivky

#13 14. 12. 2024 19:25

Re: Uzlový bod křivky

#14 15. 12. 2024 20:49

Re: Uzlový bod křivky

Zápatí