Matematické Fórum

↑ Chavier:
Ahoj, možná by ta rovnost šla dokázat tak, že dokážeš nerovnosti >= a <=.

↑ Chavier:

Ahoj,

je třeba uvažovat přesně. Reálná čísla jsou v této konstrukci Dedekindovy řezy $\alpha ;\beta ;\gamma ...$, což jsou podmnožiny racionálních čísel s jistými vlastnostmi. Jsou-li  $a\in \alpha ;b\in \beta ;c\in \gamma ...$, pak a; b; c nejsou čísla reálná, ale racionální. Ty nemáš dokázat

$a(b+c)=ab+ac$

(to je vlastnost racionálních čísel).Ty máš dokázat

$\alpha (\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma$

Dále - sčítání a násobení racionálních čísel je něco jiného než sčítání a násobení řezů (reálných čísel), takže bychom to měli značit jinak, např.

$\alpha \otimes (\beta \oplus \gamma )=(\alpha \otimes \beta )\oplus (\alpha \otimes \gamma )$

A konečně - napiš, jak máte definován Dedekindův řez (ono totiž existuje několik ekvivalentních konstrukcí).

↑ Chavier:

Omlouvat se netřeba :-)

Takže takto:



Řezy jsou množiny racionálních čísel, takže dokazuješ rovnost množin. Nejlépe inkluzi v obou směrech, tedy

$x\in \alpha \otimes (\beta \oplus \gamma )\Rightarrow x\in (\alpha \otimes \beta )\oplus (\alpha \otimes \gamma )$

a potom naopak

$x\in (\alpha \otimes \beta )\oplus (\alpha \otimes \gamma )\Rightarrow x\in \alpha \otimes (\beta \oplus \gamma )$

Je potřeba si pořádně uvědomit, jak je definován součet a součin řezů a kvůli tomu součinu bych to zkusil nejdřív pro případ, kdy jsou všechny kladné, tj. obsahují nulu.