#1 02. 01. 2025 15:40
Reálne čísla - dedekindové rezy
Dobrý deň,
mám dokázať že:
operácia násobenia je distributívna k sčítaniu. (v množine reálnych čísel).
Ja by som to riešil cez množinu racionálnych čísel (množina je už zostrojená).
Východisko: treba ukázať platnosť tohto vzťahu
[mathjax]a \cdot (b+c) =a\cdot b+a\cdot c[/mathjax]
kde a,b,c su prvky rezov [mathjax]\alpha ,\beta ,\gamma [/mathjax] a voláme ich reálne čísla.
Ďalej sa neviem veľmi pohnúť. Ďakujem za akúkoľvek pomoc.
Offline
#2 02. 01. 2025 19:04
- check_drummer
- Příspěvky: 5578
- Reputace: 106
Re: Reálne čísla - dedekindové rezy
↑ Chavier:
Ahoj, možná by ta rovnost šla dokázat tak, že dokážeš nerovnosti >= a <=.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 02. 01. 2025 22:23
Re: Reálne čísla - dedekindové rezy
↑ check_drummer:
nejak takto, idem preskumat to
http://www.mathmatique.com/naive-set-th … ekind-cuts
Offline
#4 03. 01. 2025 10:28 — Editoval Eratosthenes (03. 01. 2025 10:45)
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3111
- Reputace: 140
Re: Reálne čísla - dedekindové rezy
↑ Chavier:
Ahoj,
je třeba uvažovat přesně. Reálná čísla jsou v této konstrukci Dedekindovy řezy [mathjax]\alpha ;\beta ;\gamma ...[/mathjax], což jsou podmnožiny racionálních čísel s jistými vlastnostmi. Jsou-li [mathjax]a\in \alpha ;b\in \beta ;c\in \gamma ...[/mathjax], pak a; b; c nejsou čísla reálná, ale racionální. Ty nemáš dokázat
[mathjax]a(b+c)=ab+ac[/mathjax]
(to je vlastnost racionálních čísel).Ty máš dokázat
[mathjax]\alpha(\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma [/mathjax]
Dále - sčítání a násobení racionálních čísel je něco jiného než sčítání a násobení řezů (reálných čísel), takže bychom to měli značit jinak, např.
[mathjax]\alpha\otimes (\beta \oplus \gamma )=(\alpha\otimes \beta ) \oplus (\alpha\otimes \gamma )[/mathjax]
A konečně - napiš, jak máte definován Dedekindův řez (ono totiž existuje několik ekvivalentních konstrukcí).
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#5 03. 01. 2025 12:25
Re: Reálne čísla - dedekindové rezy
↑ Eratosthenes: ospravedlňujem sa.
Podmnožinu [mathjax]\alpha \subset Q [/mathjax] nazývame rezom množiny Q, ak:
1. Podmnožina [mathjax]\alpha [/mathjax] je neprázdná množina
2. Doplnok podmnožiny [mathjax]\alpha [/mathjax] v množine Q je tiež neprázdny
3. Nech[mathjax]a [/mathjax] je prvkom rezu[mathjax]\alpha [/mathjax] a nech [mathjax]b\in Q[/mathjax] má vlasnosť
[mathjax]b\le a[/mathjax]. Potom musí aj racionálne číslo b patriť do rezu [mathjax]b\in \alpha [/mathjax]
4. Rez [mathjax]\alpha [/mathjax] nemá najväčší prvok. Ak [mathjax]a\in \alpha [/mathjax] tak existuje [mathjax]a´\in \alpha [/mathjax], pre ktoré je [mathjax]a< a´[/mathjax]
Množinu všetkých rezov množiny Q označíme symbolom R. Prvky patriace do R voláme reálne čísla.
Offline
#6 03. 01. 2025 13:20
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3111
- Reputace: 140
Re: Reálne čísla - dedekindové rezy
↑ Chavier:
Omlouvat se netřeba :-)
Takže takto:
Řezy jsou množiny racionálních čísel, takže dokazuješ rovnost množin. Nejlépe inkluzi v obou směrech, tedy
[mathjax]x\in \alpha\otimes (\beta \oplus \gamma )\Rightarrow x\in (\alpha\otimes \beta ) \oplus (\alpha\otimes \gamma )[/mathjax]
a potom naopak
[mathjax]x\in (\alpha\otimes \beta ) \oplus (\alpha\otimes \gamma ) \Rightarrow x\in \alpha\otimes (\beta \oplus \gamma ) [/mathjax]
Je potřeba si pořádně uvědomit, jak je definován součet a součin řezů a kvůli tomu součinu bych to zkusil nejdřív pro případ, kdy jsou všechny kladné, tj. obsahují nulu.
Budoucnost patří aluminiu.
Offline