Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Ahoj,

střední kvadratická rychlost molekul bude při stejné teplotě stejná. Je ale otázka,zda mikrovlny neničí jednotlivé složky čajové směsi (tein,třísloviny...)

↑ check_drummer:

Tak Gaussova křivka to asi nebude, Nulovou, natož zápornou rychlost žádná molekula mít nebude. Spíš nějaký chí kvadrát nebo něco takového. A že by se nějak lišily její charakteristiky, to si nemyslím. Ale fyziku jsem neviděl padesát let...

MichalAld napsal(a):

Rozložení rychlostí se neřídí Gaussovým rozložením, ale Maxwellovým.
A pokud je kapalina v tepelné rovnováze (což minutu po vyjmutí z mikrovlnné trouby určitě je) tak musí být rozložení stejná, závislá jen na teplotě.

Ahoj a z čeho to plyne? Proč tam v závislosti na způsobu ohřevu nemůže být třeba hodně rychlých molekul, hodně pomalých, ale málo středně rychlých?..... (A nebo jinak rozložených - jinak než po uvaření čaje.)

↑ MichalAld:↑ check_drummer:

Matně si vzpomínám, že jsem o tom kdysi něco slyšel v molekulové fyzice a termice, ale jsa matematik, tak jsem si v představě, jak to rozložení asi vypadá, vzpomněl jenom na chí kvadrát a Maxwell mně nějak vypadl. Ale stejné statistické charakteristiky při stejné teplotě mi utkvěly. Tedy u klidného plynu, ale u klidné kapaliny by to mohlo být zhruba stejné. A je jedno, jestli to do té teploty ochladím, anebo zahřeju a jak. A je to celkem logické. Když do horké vody, která má svoje Maxwell rozložení se svým maximem, svým rozptylem... hodím hrnek vody studené s jiným Maxwell rozložením, s jiným maximem, jiným rozptylem..., tak v rozložení nastane v teplotě na různých místech i ve statistickém rozložení rychlostí chaos, který se ale pozvolnou difuzí (anebo čím) postupně stabilizuje na nějaké teplotě (jiné než předchozí dvě) a opět na Maxwell rozložení s vlastním maximem, vlastním rozptylem... (jiným než měla rozložení původní).

Tak bych to (tak nějak pololaicky) viděl já.

Na to, jak rychle se systém dostane do tepelné rovnováhy není jednoduchá odpověď. Statistická mechanika se tím úplně nezabývá, ta se zabývá stavy v rovnováze nebo v blízkosti rovnováhy. Já ani nevím, jestli se stavy vzdálené od rovnováhy dají nějak rozumě počítat.

Dosažení rovnovážného stavu může trvat dost dlouho, když ocelovou tyč na jednom konci ohřeješ, může to trvat několik hodin, než se její teplota vyrovná.

Pokud tedy při ohřevu čaje vzniknou nějaké makroskopické nehomogenity s rozdílnou teplotou, může to trvat minuty nebo i hodiny, než se to ustálí.

Ale na atomárních rozměrech je to podel mě nesmysl. Přestava že molekuly rozpohybujeme podél osy z (tím směrem co je intenzita el. pole) a ony tak vydrží kmitat ještě minuty, to je podle mě blbost.

Já vím, přesně to mám na mysli i já, nejde o nehomogenity, ale o něco jako "anizotropie", o to, že rychlosti neodpovídají maxwellovu rozložení. Ale v každém místě stejně.

No, já ti nedokážu odpovědět na to, jak dlouho takový stav vydrží. Ale podle mě to souvisí s počtem srážek. Vezmi si, kolikrát se srazí kuličky v losovacím zařízení, abychom je mohli označit za celkem náhodně zamíchané. Pořád jsou to tak stovky srážek.

Tady se bavíme o tom, že po uplynutí sekundy mají za sebou částice nějaký bilion srážek. Takže lze očekávat, že jejich pohyb bude už dostatečně náhodný. Což znamená maxwellovo rozložení. Ale jestli se dá spočítat, jak dlouho ten proces trvá, to já nevím.

Každopádně - pojem teplota je definován jen pro systém v tepelné rovnováze. U vody, kde ještě nenastal rovnovážný stav nemůžeme o teplotě mluvit. To samozřejmě neřeší náš problém, jen to uvádím jako zajímavost.


Na druhou stranu, existují i nějaké ty meta-stabilní stavy, například čistou vodu lze ohřát i nad teplotu varu a pořád je to kapalina. Ale stačí do ní hodit zrníčko písku, a okamžitě začne všechna vařit. To samé voda podchlazená pod teplotu mrazu.

Když budou mít všechny molekuly stejnou rychlost (co do velikosti i směru) tak k žádným srážkám nejspíš docházet nebude. To je něco jako když na “stojící” molekuly (těleso při absolutní nule) koukáme ze soustavy v pohybu, jako třeba z jedoucího vlaku.

Ono to nemá logické řešení, matematika statistické mechaniky stojí na axiomech které jsou (některé z nich jsou) v přímém rozporu s axiom klasické Newtonovské fyziky.

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Měl jsem na mysli - stejnou velikost rychlost, ale různý směr.... Vždyť o tom Maxwellovo rozdělení mluví ne? O velikosti rychlosti a ne o směru....

Přesně tak. Ten stav je sice krajně nepravděpodobný  (např. pro 10^9 molekul je pravděpodobnost 10^(-9)) ale teoreticky možný. I tam ke srážkám samozřejmě dochází a pokud má pan Maxwell pravdu, nakonec i toto skončí jeho rozložením rychlostí.

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
To, že některé molekuly se budou zpomalovat, to bych asi pochopil (ale srážky asi ted nebudou ideální - tam by se rychlost neměnila), ale že se některé molekuly zrychlí? To si neumím představit jak k tomu může dojít.

Tak to já si představit dovedu. Platí tam totiž zákon zachování hybnosti - součet hybností před srážkou se rovná součtu po srážce (samozřejmě pro dokonale pružný ráz, což toto asi není, ale i tak...). Při stejné hmotnosti se tedy zachovává součet rychlostí.

Eratosthenes napsal(a):

(samozřejmě pro dokonale pružný ráz, což toto asi není, ale i tak...)

No, na úrovni částic existují jen dokonale pružné nárazy, pokud tedy neuvažujeme, že některé molekuly či atomy mohou přecházet do excitovaných stavů.
U částic něco jako nepružný náraz neexistuje.

Nepružné nárazy - to znamená že se část energie rozptýlí (přemění na teplo, tedy na ten náhodný pohyb částic). Ale u částic samotných nic takového nastat nemůže, tam už se nemá energie kam rozptýlit.


Jinak je to tak jak píšeš.

↑ Eratosthenes:

Už to chápu, když se např. pohybují kolmo k sobě  dvě molekuly A1,A2 se středy S1,S2 rychlostmi v1,v2 a srazí se tak, že např. v okamžiku srážky mají vektory v2 a S2S1 stejný směr, tak se po této srážce molekula A1 nejspíš zrychlí - protože v jejím směru jí nic nezbrzdí a ještě se vektor její rychlosti zvěší o složku ve směru S2S1.

Sice máš obrázek se čtyřmi molekulami, ale asi můžeme předpokládat že nedojde k tomu, že v jeden okamžik se molekula srazí se dvěma jinými molekulami a můžeme tedy zkoumat jen případ, kdy se srazí jen dvě molekuly - a klidně ať se pak po velmi malém okamžiku srazí zase s jinou molekoulopu, ale ne v ten stejný okamžik.... Ale teď už jsem si to vyjasnil.

Mylně jsem se domníval, že u pružných srážek se zchovává velikost rychlosti, ale ona je to hybnost, tedy v případě neměnné hmotnosti jde o součet vektorů rychlosti. Pak už bych chápal, že ten Maxwellův zákon půjde nějak odvodit. Možná by to šlo nějak statisticky - když se náhodná molekula srazí s jinou náhodnou a ve finále "integrováno" přes všechny možné rychlosti molekul a jejich četnosti, se nic nezmění....

Možná je s tím Maxwellovým rozložením menší záhada než jsem myslel.

Protože pro jeden směr (třeba osu x) platí

$f(v_x)d{v}_x=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}(e^{-\frac{m{v}_x^2}{2kT}})d{v}_x$

což je normální exponenciální rozložení - čím vyšší rychlost, tím (exponenciálně) nižší pravděpodobnost.

To samé platí i ve 3D prostoru:

$f(\mathbf{\text{v}})d^3\mathbf{\text{v}}=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}(e^{-\frac{m{v}^2}{2kT}})d^3\mathbf{\text{v}}$

Teprve po integraci se nám tam objeví to v^2,

$f(v)=[\frac{m}{2\pi kT}{]}^{\frac{3}{2}}4\pi v^2(e^{-\frac{m{v}^2}{2kT}})$

Netvrdím, že tomu rozumím, opsal jsem to z wiki, ale to, že Maxwellovo rozložení má ten vrchol s nejpravděpodobnější rychlostí je podle všeho důsledkem toho, že pro malé rychlosti je jejich "prostor rychlostí" malý a tudíž mají nízkou pravděpodobnost.

To exponenciální rozložení je Boltzmanův zákon - to samozřejmě nevím, jestli se dá ještě z něčeho odvodit. Ale můžeme si představit, že máme svislý válec naplněný ideálním plynem. Z klasického popisu víme, že pV/T = const, tedy při konstantní teplotě pV = const. A z požadavku, že tlak ve výšce h musí být takový, aby udržel ten sloupec plynu nad sebou dostaneme jednoduchou diferenciální rovnici, ze které vyjde, že tlak plynu musí s výškou exponenciálně klesat (v homogenním gravitačním poli).

No a pak si můžeme představit, že molekuly ve výšce h měly zrovna to štěstí, že někde vespodu náhodou získaly dostatečnou rychlost pro výstup do té výšky h. Takže počet molekul ve výšce h je vlastně ta pravděpodobnost.

Jasně, je to zjednodušená představa vycházející z toho, že se molekuly navzájem nesrážejí. Ale údajně lze nějak ukázat, že ty srážky na to žádný vliv nemají a funguje to úplně stejně.

↑ MichalAld:

Pěkné. Zase jsem o něco chytřejší. Jde jen o to, jak dlouho mi to při mém věku vydrží :-)