Matematické Fórum

check_drummer napsal(a):

MichalAld napsal(a):

No a pak si můžeme představit, že molekuly ve výšce h měly zrovna to štěstí, že někde vespodu náhodou získaly dostatečnou rychlost pro výstup do té výšky h. Takže počet molekul ve výšce h je vlastně ta pravděpodobnost.

Já bych řekl že by to mohlo být i naopak - některé molekuly měly to štěstí že mohly klesnout dolů..... Např. kvůli gravitaci. Podle mě je toto dáno spíš gravitační silou než Boltzmannovým zákonem ne?

No, gravitace zařídí tu potenciální energii E ve výšce h. A Boltzmanův zákon říká, že pravděpodobnost dosažení stavu s energií E při teplotě T je ...

A té potenciální energii ve výšce h odpovídá kinetická energie (tedy rychlost) kterou částice musela mít dole, ve výšce 0.

Ještě k tomu rozdělení: https://cs.wikipedia.org/wiki/Maxwellov … Blen%C3%AD

Podle toho obrázku to vypadá, že moleukula s E=0 nebude žádná, ale podle toho vzorce to vypadá tak, že jich bude nenulový počet, tak nevím co si o tom myslet.... Normálně bych věřil vzorci než obrázku, ale asi je to nějaký standardizovaný obrázek, který se hodně používá.....

↑ Eratosthenes:
Tak pak je špatně ten obrázek, který jde až k 0.

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

Je psáno, že vzorec platí jen pro $E-\mu \gg k_{b}T$, což E=0 rozhodně nesplňuje.

To nás ale nemusí zajímat, my řešíme nesoulad mezi obrázkem a grafem, né to, jestli to ve skutečnosti platí.

check_drummer napsal(a):

Ještě přemýšlím o těch pružných srážkách - jde nějak určit rychlost částice před srážkou a po srážce? Speciálně - pokud mají dvě částice o stejné hmotnosti stejnou velikost rychlosti, budou mít tuto velikost i po srážce? Nejdřív jsem myslel, že ano, pak že ne a teď si nejsem jistý. :-))

Tohle je celkem jednoduché, všechno je jen o tom najít pro příslušnou srážku vhodnou těžišťovou soustavu. V této těžišťové soustavě se částice, pokud tedy mají stejnou hmotnost, pohybují přesně proti sobě stejnou rychlostí a stejnou rychlostí se zase odrazí. Zbytek je jen sčítání vektorů rychlostí.

Těžišťovou soustavu najdeme tak, že je v ní celková hybnost nulová. Tedy p1 + p2 = 0, tedy

m1(v1 - v) + m2(v2 - v) = 0, pro stejné částice tedy v1-v+v2-v=0, v = (v1+v2)/2

musíme samozřejmě uvažovat vektory rychlostí.

Detaily stran toho, jsou li částice body nebo kuličky nemají na nic vliv.

Jestli je možné, aby pomalejší částice urychlila tu rychlejší, to na první pohled nedokážu říct. Ale můžeme to zkusit zjistit

před srážkou tedy máme rychlosti v1, v2, v těžišťové soustavě je to v' a -v',

v' = v1-v
-v' = v2-v

po srážce se jen změní znaménka těch čárkovaných rychlostí, tedy

-v' = v-v1
v' = v-v2

a zpět do původní soustavy (rychlost těžišťové soustavy se při srážce nijak nezmění)

-v' + v = v + v - v1 = 2v - v1
v' + v = 2v - v2

Teď ještě můžeme dostadit jak jsme určili tu rychlost těžišťové soustavy v = (v1+v2)/2

a dostáváme že z v1 vznikne v2 a z v2 vznikne v1, takže si částice prostě vyměnily svůj vektor rychlosti. Pokud je tahle úvaha správná, tak jednoduché srážky dvou částic nemohou vést k tomu, že by částice získala vyšší rychlost než měla jedna z nich před srážkou.

MichalAld napsal(a):

tak jednoduché srážky dvou částic nemohou vést k tomu, že by částice získala vyšší rychlost než měla jedna z nich před srážkou.

Takže jestli to chápu správně, tak pokud mám soustavu, kde mají všechny molekuly stejnou hmotnost a velikost rychlosti, tak se jejich velikost rychlosti po szážce nemění a tedy tato soustava nemůže konvergovat k Maxwellově rozdělení? A vlastně by z toho asi plynulo i to, že žádná soustava nemůže konvergovat k Maxwellově rozdělení....

Takže když například uvažujeme 2D situaci, kdy proti sobě letí dvě částice, o stejné hmotnosti, jedna s rychlostí

$\overrightarrow{v_1}=[1,1]$

a druhá s rychlostí

$\overrightarrow{v_2}=[-1,1]$

Tedy ve směru x letí proti sobě, ve směru y letí stejným směrem. Po srážce (detaily srážky považujeme za náhodné, protože se stejně řídí zákony kvantové mechaniky, i když to reálně nejspíš závisí na detailech toho, jak blízko kolem sebe letěly) - po srážce budou mít rychlosti (náhodou)

$\overrightarrow{v_1}=[0,2]$

$\overrightarrow{v_2}=[0,0]$


Je zřejmé, že celková hybnost (před srážkou i po srážce) je stejná, celková energie před srážkou i po srážce je taky stejná (úměrná ${\overrightarrow{v_1}}^2+{\overrightarrow{v_2}}^2$), takže takto srážka klidně proběhnout může - a vede to k urychlení jedné z částic.

MichalAld napsal(a):

check_drummer napsal(a):

MichalAld napsal(a):

V této těžišťové soustavě se částice, pokud tedy mají stejnou hmotnost, pohybují přesně proti sobě stejnou rychlostí a stejnou rychlostí se zase odrazí. Zbytek je jen sčítání vektorů rychlostí.

Ale mně šlo i o případy, kdy se částice nepohybují přesně proti sobě.

Když se nepohybují přesně proti sobě, tak se nesrazí.

Ale jinak to co jsem napsal, tak neplatí. To platí jen v jednorozměrné situaci. Obecně, když se v těžišťové soustavě srazí, tak se od sebe odrazí opačnými rychlostmi, ale do libovolného směru. Takže před srážkou proti sobě letěly vodorovně, po srážce od sebe mohou letět svisle.

A to tedy nejspíš k nárustu rychlosti vést může. Když se třeba ta těžišťová soustava zrovna pohybuje svislým směrem, tak pak to k tomuhle přesně povede, že jedna částice se urychlí, druhá zpomalí.

Takže to že se musí pohybovat přesně proti sobě máš na mysli v "normální soustavě" a nebo té těžišťové soustavě? Ale i tak si nemnyslím, že se musí pohybovat přesně proti sobě... Když se pohybují v normální soustavě kolmo k sobě tak se srazit mohou a přechodem do těžišťové soustavy se úhly nemění ne?

Takto - těžišťová soustava je soustava, ve které se těžiště sledovaných těles (nebo částic) nepohybuje.

Příliš to nesouvisí s tím, jestli je kartézská nebo polární nebo nějaká jiná - tyhle výrazy zpravidla používáme u prostorových souřadnic. Jenže máme ještě tu časovou. Ale v klasické (Newtonově) fyzice se zpravidla časoprostor nepoužívá, používá se prostor a čas nezávisle. Takže máme prostorový souřadný systém (třeba ten kartézský), ten můžeme ještě libovolně posouvat a natáčet, aniž tím něco pokazíme (fyzikální zákony vykazují symetrii vůči posunutí a otočení, říkáme tomu homogenita a izotropnost prostoru).

Ale tuhle soustavu musíme také s něčím spojit, nemůže (ve skutečném světě) existovat sama o sobě. Takže třeba u našeho plynu nebo kapaliny si ji "připlácneme" na stěny nádoby.

Je samozřejmě potřeba, aby zvolená soustava byla inerciální - doufám, že víš, co to znamená, to by vyšlo na další odstavec. Lidsky řečeno to znamená, že v ní nepůsobí ty setrvačné síly, tedy že nezrychluje ani se neotáčí.

A potom, když máme vhodnou inerciální soustavu, můžeme využít toho, že každá jiná soustava, co se vůči ní pohybuje konstantní rychlostí je také inerciální. Takže když se zaměříme na 2 částice, co se chtějí srazit a zapomeneme na chvíli na vše ostatní, tak si můžeme vytvořit soustavu, která se pohybuje stejně rychle jako společné těžiště našich dvou částic.

Díky zákonu zachování hybnosti platí, že rychlost pohybu těžiště systému dvou nebo i více částic je stále stejná, a vůbec není ovlivněna případnými srážkami těch částic, dokonce ani případným uvolňováním či pohlcováním energie při srážkách. Z tohoto pohledu je zákon zachování hybnosti velmi silným příprodním zákonem.

Takže si zvolíme tu soustavu, která se pohybuje stejně rychle jako těžiště dvou částic. A částice můžeme popisovat "z pohledu této soustavy". A když jsou částice stejně těžké, tak zjistíme, že v těžišťové soustavě se pohybují vždycky stejnou rychlostí opačným směrem. Buď k sobě, nebo od sebe. Protože v těžišťové soustavě je celková hybnost částic nulová (rychlost těžiště je nulová, takže i celková hybnost je nulová). A to lze dosáhnout jen tím, že každá z páru částic má opačnou hybnost než ta druhá. A když jsou stejně těžké, tak i opačnou rychlost.

V těžišťové soustavě se nám srážky analyzují snadněji - a pak to zase můžeme převést do té původní soustavy (spojené se skleničkou, ve které se kapalina nachází).

↑ MichalAld:
Takže jsme získali zjednodušení, že se částiče výždy pohybují opačně - ovšem zase neumíme snadno zjistit pod jakým úhlem se odrazí....

Ale to, že dojde k urychlení jedné z částic (a tedy ke zpomelení druhé), to jsi tedy někde výše odvodil je to tak?

A nebude náhodou dokonce platit, že když jedna částice narazí do druhé přesně kolmo (stejné hmotnosti a stejné velikosti rychlostí), že se pak zastaví? Něco jako v Newtonově kyvadle....

mák napsal(a):

check_drummer napsal(a):

A nebude náhodou dokonce platit, že když jedna částice narazí do druhé přesně kolmo (stejné hmotnosti a stejné velikosti rychlostí), že se pak zastaví? Něco jako v Newtonově kyvadle....

Při dokonale pružném nárazu se od sebe odrazí stejnou rychlostí jakou do sebe narazily.

Přesně.
A u částic nic jiného než dokonale pružná srážka nastat nemůže. Energie se nám kam ztratit.

My jsme zvyklí, že když uděláme kouli z plastelíny a pustíme ji na zem, že už na zemi zůstane (trochu se zplácne a ohřeje), ale to u částic nejde. Ono ohřátí znamená, že se část energie rozptýlila na pohyb těch elementárních částic. Ale energie částic už se nemá kam rozptýlit, takže se musí zachovávat.

V principu by dvě částice mohly vytvořit vázaný stav. Jenže energie vázaného stavu (stabilního) je nižší než energie těch dvou volných částic - a zase, kam s tou přebytečnou energií? Takže dvě částice při srážce vázaný stav prostě utvořit nemohou. Když by se srazily 3 a šikovně zainteragovaly tak, aby dvě částice utvořili vázaný stav a třetí odnesla přebytečnou energii, tak by to šlo. Ale dvě částice nemohou.

To je (nejspíš, úplně tomu nerozumím) příčinou těch metastabilních stavů ve stylu kapalin podchlazených pod teplotu tuhnutí - že dvě částice při srážce nemohou vytvořit ten vázaný stav. I když mají v průměru energii docela nízkou. Ale jakmile tam hodíme nějaké zrníčko prachu nebo zárodek ledu, dokáže už pohlcovat (rozptylovat) tu energii a okamžitě se na něj všechny částice naváží (a podchlazená voda nám okamžitě zmrzne).

↑ mák:
To určitě ne - viz Newtonovo kyvadlo - ta koule co narazí bude po nárazu v klidu, tedy se zcela jistě neodrazí ve stejné rychlosti v jaké narazila. Podobně ta co bvyla před nárazem v klidu nezůstane v klidu po nárazu....