Matematické Fórum

check_drummer napsal(a):

↑↑ mák:
To určitě ne - viz Newtonovo kyvadlo - ta koule co narazí bude po nárazu v klidu, tedy se zcela jistě neodrazí ve stejné rychlosti v jaké narazila. Podobně ta co bvyla před nárazem v klidu nezůstane v klidu po nárazu....

Příklad kyvadlo:
Kulička A se nehýbe. Kulička B se pohybuje. Náraz. Kulička A převezme rychlost kuličky B (začne se pohybovat). Kulička B převezme rychlost kuličky A (zastaví se). Tj. vymění se rychlosti. Celkový pohyb (energie) zůstane zachován.

Příklad dvě kuličky proti sobě stejnou rychlostí.
Kuličky A i B si vymění při nárazu směr pohybu (pohybují se stále stejnou rychlostí, ale opačným směrem). Obdobně jako u hry klik-klak (kuličky).

check_drummer napsal(a):

Jak bude vypadat pohyb kuliček po jejich srážce v tom mém popisovaném případě, tj. jedna kulička narazí "kolmo" do jiné kuličky (obě mají stejnou hmotnost a stejnu velikost rychlosti a stejný poloměr)? Přesněji řečeno - středy obou kuliček leží v okamžiku nárazu na stejné přímce, po jaké se pohybuje ta druhá kulička.

Jako že jedna letí ve směru osy x a druhá ve směru osy y? A stejnou rychlostí?


Pokud tedy nechceme, aby srážka dopadla náhodně, tak bychom asi měli požadovat tu symetrii. Takže by se mohly odrazit stejně, jako by se odrazily od nějaké myšlené roviny co je mezi nimi. Tedy, že si prohodí svoje rychlosti (a kulička co se před srážkou pohybovala ve směru x se po srážce bude pohybovat ve směru y a naopak). Také by byla možnost (ale asi né u fyzických kuliček) že by každá letěla původním směrem, jako by se vůbec nesrazily.

Všechny ostatní varianty srážky podle mě symetrii nějakým způsobem narušují, tedy že se každá z té dvojice kuliček odrazí jinak než ta druhá.

↑ MichalAld:
Jak jsem psal, jedna narazí kolmo do druhé a v okamžiku nárazu budou jejich středy na přímce, po které e pohybuje ta druhá kulička. Takže můžeme to brát tak, že jedna se pohybuje po ose x a druhá po ose y (resp,. jejich středy). Podmínky jsou jasně dány, takže není potřeba uvažovat o nějakých symetriiích a o nějakých dodatečných předpokladech... Moje otázka zní - jaký bude směr a velikost rychlosti obou kuliček po nárazu.

↑ MichalAld:
Díky, to jsem si myslel, že se ta první bude pohybovat "šikmo" a ta druhá se zastaví. Je to v y-ové souřadnici vlastně Newtonovo kyvadlo. A je to také odpověď na otázku, zda po srážce mohou kuličky změnit rychlosti - mohou. Z tohoto pohledu vypadá Maxwellovo rozložení věrohodně....

Tak zase, pokud koule nemají změnit směr, a budou se pohybovat pořád podél osy x,

celková hybnost i energie se musí zachovávat. Když teda uvažujeme, že m = 1, ať si to usnadníme, tak

Před nárazem

p1 = 2
p2 = 3

p = p1 + p2 = 5


a energie $E=\frac{1}{2}m{v}^2$  (vyhodím z toho tu 1/2, nemá to na nic vliv)

E1 = 4
E2 = 9
E = E1 + E2 = 13


No a teď si můžeš zkusit najít hybnosti po srážce, takové, aby jejich součet (se zohledněním znaménka) byl zase těch 5, a součet energií (tam se znaménko neprojeví) těch 13.


Takže

x + y = 5  => y = 5-x
x^2 + y^2 = 13

po dosazení
x^2 + (5-x)^2 = 13
x^2 + x^2 -10x + 25 = 13
2x^2 -10x + 12 = 0
x^2 - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x=2
x=3

takže možná řešení jsou:

p1=2, p2=3
nebo
p1=3, p2=2

To první bychom asi nenazvali srážkou (i když u částic to může klidně nastat), prostě se nestane nic, jako kdyby ty koule o sobě nevěděli.
Druhá možnost je klasická srážka.

Můžeme samozřejmě nejdřív celou úlohu převést do těžišťové soustavy, a tam to budou dvě koule pohybující se proti sobě. Protože to už víme jak dopadne - že se odrazí stejnou rychlostí - a pak to zase převedeme do té původní soustavy. Je to jedno, jak se to spočítá, vyjde to stejně.
Těžišťová soustava se pohybuje rychlostí (2+3)/2 = 2.5
A koule v ní tedy budou mít rychlost -0.5 a 0.5. Při srážce se rychlosti prohodí. Pak k tomu zase přičteme těch 2.5 a máme výsledek.


Žádnou jinou variantu než tyhle dvě už zákony zachování energie a hybnosti nepřipouštějí. Pro koule, které se mohou pohybovat jen podél osy x a nemohou změnit svůj směr.

↑ check_drummer:
Tak to je smůla. Na (sub) atomární úrovni musíme používat kvantovou mechaniku.

A kvantová mechanika nám nedokáže říct, co se tam "ve skutečnosti" děje. Vlastně tvrdí, že to nemůžeme vědět. Kvantové mechanika umí předpovědět (v jednoduchých případech, jako je třeba srážka dvou elektronů) jen pravděpodobnost, jak konkrétní výsledek srážky dopadne.

A používá k tomu matematického aparátu který vlastně nijak nesouvisí s tím, co se tam "ve skutečnosti" děje.

Vlastně i z pohledu jednoduché logiky - já si nedokážu představit, jak by nějaká třeba diferenciální rovnice dávala náhodný výsledek. V matematicke, když jsou stejné vstupy, tak je také stejný výstup. Matematika nedokáže vygenerovat náhodný výsledek, tu náhodu tam musíme vložit. Příroda to dokáže - a z toho tedy plyne, že pomocí matematiky nelze rozumě popsat, co se tam "ve skutečnosti" děje.

Jo jo, chování elementárních částic je pro nás, obyčejné lidi, dost těžko uchopitelné (neřku li pochopitelné).

Jenže teorie pravděpodobnosti nedává náhodné výsledky. Operuje jen s těmi pravděpodobnostmi, a ty náhodné nejsou.

To už se dostáváme do takové filozofické roviny. V klasické fyzice také používáme stochastický popis, protože je to v mnoha případech výhodné, nebo to ani jinak nejde ... ale věříme tomu, že ten náhodný výsledek ve skutečnosti náhodný není, že je jen daný systém příliš komplikovaný na to, abychom ho mohli detailně poznat. Ale kdybychom znali všechny detaily o systému (polohy a rychlosti všech částic, co ho tvoří), tak bychom to dokázali. Případně, když bychom to teda počítali, tak bychom dostávali podobně "náhodné" chování.

Ale kvantová mechanika přináší něco nového, tak přináší "náhodu z podstaty věci", náhodu, která není důsledkem toho, že je systém nějak složitý a nemožný reálně poznat. Je to prostě náhoda a nepoznatelnost "z podstaty věci", kterou nelze nijak obejít. Takže my nemůžeme nijak popsat (a vlastně ani vědět) co se v kvantovém systému "ve skutečnosti děje". Můžeme spočítat pravděpodobnost, že to dopadne tak nebo jinak, ale nemá to žádné hlubší vysvětlení (na pozadí).

A ten způsob jak to počítáme nám neříká, co se tam "ve skutečnosti" děje.

Právě že né. Reálný svět se nepopisuje komplexními čísly. To se používá (v klasické fyzice) jen že nám to usnadňuje počítání. Ale v principu se to nemusí dělat vůbec.

Lineární dif. rovnice můžeš taky v principu řešit jen se siny a cosiny.

To jen kvantovka skutečně potřebuje komplexní čísla. Ale zase - jediný její výstup, který má fyzikální význam je pravděpodobnost, a ta už je zase reálná.

Jasně, že celá fyzika jsou jen modely a zjednodušení. Ale klasický model popisuje, co se v tom systému skutečně děje. V tom smyslu, že každou tu dílčí věc můžeme v principu měřit a ověřit.

Kvantový popis takový není. Na kvantový systém, který popisujeme, se "nesmíme dívat". Když se na něj díváme, chová se jinak. S trochou nadhledu můžeme říct, že se chová tak, jak se na něj díváme. Kvantově se chová jen když se nedíváme. Když se budeme dívat pořád, tak mu vlastně "náš pohled" budeme vnucovat neustále. A nikdy se nebude chovat tím "svým způsobem".

Je to řečené s nadhledem, a tudíž né zcela přesně - ale v principu to tak je. Aby částice vykazovaly to své kvantové chování, musíme je nechat na pokoji. No a ten kvantový model, podle kterého počítáme co se stane, až se zase na částice podíváme - tak ten vůbec částice neobsahuje. Obsahuje vlny. Když se nedíváme, tak se částice chovají jako vlny. Ale když se podíváme, tak "vidíme" vždycky jen částice, buď tady, nebo tamhle. Kvantové vlny nikdo nikdy neviděl. Nejsou reálné. Nebo jsou? Nám to může být jedno, něco co zmizí (z podstaty věci) vždycky, když se na to podíváme, tak tam nemusíme řešit, jestli to reálné je nebo není.

No že svět nepopisujeme komplexními čísly

No, to je to, co ve fyzice nazýváme jako že to má "fyzikální význam", tedy že to lze ověřit měřením ve skutečném světě.

To znamená, že ověřitelné předpovědi fyzikálních teorií musejí být reálná čísla. A samozřejmě, né všechno, co jsou reálná čísla, musí mít nutně fyzikální význam.

V klasické fyzice to bylo tak, že fyzikální význam mělo skoro všechno, s čím operovala. Tedy i nějaké ty mezivýsledky, pomocné veličiny...skoro všechno mělo fyzikální význam a dalo se měřit. Úplně všechno ale né. Třeba v teorii el. mag. pole se zavedly pomocné veličiny elektrická indukce a intenzita magnetického pole (je to trochu zmateně pojmenované) a ty tak úplně fyzikální význam nemají. Také se běžně (ne jen v elektromagnetismu) používají veličiny typu potenciálů - což je třeba zrovna energie, zejména tedy potenciální energie všeho druhu - ty také nemají přímý fyzikální význam. Je toho víc.

Ale v kvantové teorii nemá přímý fyziální význam skoro nic, jen úplně poslední krok je vyjádření pravděpodobnosti toho, že něco dopadne nebo nedopadne. Nic z toho co je mezi tím nelze měřit. Kvantovka na tom vlastně stojí, že fázi těch komplexních veličin nelze měřit, přímo toho využívá - že když se něco ve skutečném světě nemění (třeba v čase, ale taky v prostoru, nebo obecně v závislosti na čemkoliv) - když se něco skuteného nemění, v kvantové fyzice se tomu mění fáze.

Například stav co se nemění v čase bude mít kvatnový popis $STAV\cdot e^{i\frac{E}{\hslash }t}$

↑ check_drummer:
I názvů a definic lze vymyslet hromadu. Možná je jednodušší říct co znamená, že něco (přímý) fyzikální význam nemá. Tedy že nelze provést experiment, jehož výsledek by byl tou věcí ovlivněn.