Matematické Fórum

FRhapsody · 20. 01. 2025 18:25

Zdravím,

potýkám se s problémem ohledně určování inflexních bodů v rámci druhé derivace funkce. Když jsem si hledal definice, tak se podle většiny zdrojů jedná o bod, v jehož okolní se funkce mění z RYZE konvexní na konkávní a naopak. Jiné zdroje naopak uvádí, že podmínkou pro existenci inflexního bodu v daném místě je nulová druhá derivace. To je ale vcelku v rozporu s první definicí, protože druhá definice může být v určitém bodě nulová, ale v jejím okolí zůstává funkce konkávní či konvexní.

Jak je to tedy s pravidlem pro existenci inflexního bodu?

Předem děkuji.

vlado_bb · 20. 01. 2025 19:22

↑ FRhapsody: Je to (ako obvykle) vec definície. Ale väčšinou sa pod týmto pojmom skutočne rozumie bod, kde sa mení konvexnosť. V tom, čo píšeš, nie je rozpor, teda ak sa nulovosť druhej derivácie berie ako podmienka nutná (ale nie postačujúca). Hovoríme stále o dvakrát diferencovateľných funkciách.

Eratosthenes · 20. 01. 2025 19:56

↑ FRhapsody:

Ahoj,

musíš rozlišovat mezi podmínkou nutnou a podmínkou postačující. Nulovost druhé derivace je podmínka nutná, nikoliv však postačující.

Ilustruji na běžné situaci. Nutnou podmínkou pro to, abych byl na Václaváku, je, abych byl v Praze. Ale není to podmínka postačující, protože když jsem v Praze, nemusím být na Václaváku, ale můžu být třeba na Florenci.

Naopak: Pobyt na Václaváku je postačující podmínkou pro to, abych mohl říct, že jsem v Praze (pokud tedy Václavák není ještě někde jinde, což doufám, že není :-)

Promysli to u té druhé derivace a inflexe.

MitríkĽubomír · 20. 01. 2025 20:03

Myslíš napríklad y = xlnx ?Tá nemá inflexný bod

vlado_bb · 20. 01. 2025 20:15

↑ MitríkĽubomír: prečo by zadávateľ mal mať na mysli práve túto funkciu?

FRhapsody · 20. 01. 2025 20:35

↑ vlado_bb: Funkcí, kterou bych moji myšlenku demonstroval, je např. $y = x^{4} - x^{5}$

U té v rámci druhé derivace sice vychází dva nulové body (pro x 0 a 0,6), ale na intervalech v okolí bodu 0 zůstává funkce konvexní, tudíž bych jej nepovažoval jako bod inflexní.

MitríkĽubomír · 20. 01. 2025 20:39

Pravdepodobne zadávateľ myslí toto: Ak (n-1) derivácia v bode je 0 a (n) derivácia nie je 0. Ak n je nepárne je tam inflexný bod. Ak n je párne nemá inflexný bod a je v okolí bodu rýdzo konvexná ak $f^{(n)} (x_{0}) > 0$ ak je menšia tak je rýdzo konkávna

surovec · 21. 01. 2025 08:06

↑ vlado_bb:↑ Eratosthenes:
Nemyslím si, že nulovost druhé derivace je nutnou podmínkou. Proč, nechám na zamyšlení.

MitríkĽubomír · 21. 01. 2025 09:42

$y^{‴} (0) = 24 x - 60 x^{2} = 0$
$y^{I V} (0) = 24 - 120 x = 24$
V 0 nie je inflexný bod.V okolí 0 je rýdzo konvexná

Richard Tuček · 21. 01. 2025 10:48

↑ FRhapsody:
Může se stát, že druhá derivace v bodě neexistuje.

Např. f(x)=-x^2 pro x<=0
f(x)= x^2 pro x>=0

Inflexní bod je tam, kde má derivace extrém. Pokud má funkce všude 2. derivaci,
je nutné a stačí nulovost druhé derivace a změna znaménka přechodem přes daný bod.

Pozor: funkce y=x^4 má v 0 nulovou druhou derivaci a přesto tam není inflexní bod.

Eratosthenes

↑ surovec:

No tak OK, f'' v inflexním bodě nemusí existovat. Ale nemyslím si, že by na SŠ šli až do takové hloubky.

surovec · 21. 01. 2025 13:46

↑ Eratosthenes:
To je jedno, jestli šli, nebo nešli ;-). Prostě nulová druhá derivace NENÍ nutnou podmínkou existence inflexu.

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2025 18:25

Inflexní bod

#2 20. 01. 2025 19:22

Re: Inflexní bod

#3 20. 01. 2025 19:56

Re: Inflexní bod

#4 20. 01. 2025 20:03

Re: Inflexní bod

#5 20. 01. 2025 20:15

Re: Inflexní bod

#6 20. 01. 2025 20:35

Re: Inflexní bod

#7 20. 01. 2025 20:39

Re: Inflexní bod

#8 21. 01. 2025 08:06

Re: Inflexní bod

#9 21. 01. 2025 09:42

Re: Inflexní bod

#10 21. 01. 2025 10:48

Re: Inflexní bod

#11 21. 01. 2025 12:10 — Editoval Eratosthenes (21. 01. 2025 12:11)

Re: Inflexní bod

#12 21. 01. 2025 13:46

Re: Inflexní bod

Zápatí