Matematické Fórum

Pozdravujem.

Predpokladam, ze pojem cisiel modulo n a aj pocitanie s nimi vsetci ovladate. 
Pozrite napriklad sem Odkaz .

Nech p je dane prvocislo.
Oznacme $({\mathbb{Z}}_p,+,.)$ teleso vytvorene  zvyskami  celych cisiel delenim prvocislom p, pre ich scitanie a nasobenie.

Taketo telesa su prikladom konecnych telies.

Pozdravujem,

Tvoje spomienky su vyborne ( i ked neuplne).

No vsak konecne telesa, maju aj ine zaujimave vlasnosti.
Najznamejsia je asi ta, ze konecne telesa su komutativne. 
V tomto vlakne sa budem snazit ukazat take ich vlasnosti, ktore by mal kazdy vediet.
Tiez ukazem, na prikladoch, ako sa taketo telesa konstruhuju a aj ine vlasnosti.  ( ak sa ukaze, ze to tu niekoho zaujima!)

↑ vanok:
Ahoj, myslím že by se dalo postupovat tak, že ukážeme, že Zp je těleso a pak se sestrojí vhodný faktorokruh polynomů nad Zp, o kterém se ukáže že je to těleso.

Pozdravujem,

Posledne dva prispevky su zaujimave.

Tu ukazem  postupne co moze byt uzitocne vediet  na tuto temu. 

Tak dokazme ako to navrhuje kolega ↑ check_drummer:,  ze ${\mathbb{Z}}_p$ ( p je prvocislo) je komutativne teleso ( za prepokladu ano v #5).
Tak nam ostava dokazat ze vsetky nenulove prvky v${\mathbb{Z}}_p$ su inverzibilne .

Viete to dokazat ?   
( jeden mozny dokaz):
V  $\mathbb{Z}$, cislo a vybrane medzi  1, 2, …, p-1 je nesuldelitelne z p.
Tak existuju x a y take, ze ax+py=1 ( Bézout ), co da. $ax\equiv 1$ ( mod p), co znamena,
ze  a est inversibilne v ${\mathbb{Z}}_{\mathbb{p}}$.

Pozdravujem.

Iste je tiez uzitocne porozmyslat o polynomoch na $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Urcite nemozte stotoznit, ako je to mozne, naprilad  s polynomom v $\mathbb{R}$ a jeho asociovanov funkciou z$\mathbb{R}$ do $\mathbb{R}$.

Iste viete (dokazat), ze pre dvojicu polynomov [A,B] existuje jedina dvojica polynomov [ Q,R] takych A=Q . B  + R, kde  deg(R)<deq(B).  (Cf. Euklidovske delenie polynomov).

Priklad. Pre $A=\overline{5}.X^3+\overline{2}{X}^2+\overline{5}.X$ a $B=\overline{3}{X}^2+\overline{6}.X+\overline{2}$  na $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, dostaneme $Q=\overline{4}.X+\overline{2}$ a  $R=\overline{6}.X+\overline{3}$  .

Riesenie cvicenia z #11.
Faktorisacia  $x^2+\overline{3}x+\overline{2}=(x+\overline{1})(x+\overline{2})=0$ neznamena , ze $x=-\overline{1}$ alebo $x=-\overline{2}$ su v  $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$, vsetky riesenia danej rovnice pretoze  tento okruh nie je obor interiity.
Tu ak vyskusame vsetky moznosti dostaneme tiez $x=\overline{2}$ a aj $x=-\overline{5}$.
Cize tu dana rovnica ma 4 riesenia ! ( ano, tu kvadraticka rovnica  ma 4 riesenia.)

Pozdravujem,
Cvicenie z #13.
(Mozny) navod, vynasobte danu rovnost z ( p-1)! , co da $(p-1)!.a=b.c_1$.
A porozmyslajte o $c_1$.

Dokoncenie #15.

Oznacme $P(X)=\sum _{k=0}^{p-1}{c}_k{X}^k$
P(p) nam da  $(p-1)!=\sum _{k=0}^{p-1}{c}_k{p}^k$ a aj $c_0=(p-1)!$
a tak $\sum _{k=1}^{p-1}{c}_k{p}^{k-1}=0$.
Modulo $p^2$ mame $c_{2}p+c_1=0(mod{p}^2)$,
a tiez $c_2$ je delitelne p ( co vidime ked vyjadrime polynome P modulo p).