Matematické Fórum

↑ R4Z0:
Jedna z možností je:
Zvolit si pravoúhlou soustavu souřadnou tak, aby základna splývala s osou x a střed základny byl v počátku soustavy souřadné.
Rovnoramenný trojúhelník je dán délkou základny a výšky.
Pak jde o to zjistit závislost délky čtverce na rozměrech trojúhelníka, stanovit funkční závislost a najít extrém funkce.
Podobný příklad je na mém webu www.tucekweb.info, sekce matematika, průběhy funkcí.
Tam je ale slabší požadavek, obdélník je vepsán do rovnoramenného trojúhelníka, chtělo by to trochu modifikovat.

P.S.  Poměr obsahu vepsaného čtverce a obsahu trojúhelníka bude záviset na rozměrech trojúhelníka.

↑ R4Z0:
Proč by to nebylo možné jednoznačně určit? Asi nebude obtížně dokázat, že nějaký takový čtverec vždy existuje - např. proto že množna obsahů takových čtverců je spojitá a není otevřená. A když takový čtverec vždy existuje, tak musí být možná určit zda je větší jeho obsah nebo obsah zbylé části (případně zda jsou tyto části shodné).

surovec napsal(a):

Ale dokázat, že neexistuje větší čtverec v nějaké speciální poloze, to už je zajímavější (a podstatně těžší) úkol.

Já bych řekl, že to bude jen o trochu těžší - např. lze ukázat, že 3 z vrcholů toho čtverce musí ležet na různých stranách trojúhelníka - a tedy lze vyšrtřovat jejich možné umístění - např. to, kde se může nacházet "prostřední" (X) z těch vrcholů a jaký budou dvě strany čtverce obsahujícího vrchol X svírat úhel se stranou trojúhelníka, na které leží vrchol X. Např. lze ukázat, že tento úhel nemůže být menší než 30 stupňů.

Ale když jedna strana čtverce leží na straně trojúhelníka, tak mi připadá, že ty porovnávané obsahy jsou přesně shodné - stačí si ten čtverec a zbytky toho trojúhelníka rozdělit na vhodné pravoúhlé trojúhelníky. Tedy jestli si to kreslím správně... A možná podobnou úvahou bude možné dokázat, že ostatní čtverce budou mít obsah menší....

↑ surovec:
Aha, pardon já četl rovnostranného, tak už jsem zticha.... A co jsme napsal výše nemusí platit a nejspíš neplatí...

↑ surovec:
Tím "větší nebo rovno" máš na mysli, že obsah zbytku je větší nebo roven obahu čtverce? Já myslím, že nejtesnější případ nastane u rovnostranného trojúhelníku a tedy k němu můžu zase vrátit. :-) Ale je potřeba dokázat, že to je ten nejtěsnější případ.

↑ surovec:
Tady obrázek.

Děkuji všem za pomoc. Pochopil jsem, že výsledek je, že obsah čtverce bude buď stejně velký nebo menší než obsah zbylých částí trojúhelníka. Jen doplňuji, že mimo matematické forum jsem dostal tip řešit to přes podobnost. ;)

↑ surovec: Pravda, důkaz takhle nepůjde. Ale k vyřešení samotné otázky to postačí.

Tak mi to nedalo a dotáhnul jsem ten důkaz, že maximální čtverec má vždy jednu stranu ležící na straně trojúhelníka (pomocí funkce dvou proměnných se čtyřmi vazebními podmínkami). Co z toho dále vyplynulo:
1) Pokud má trojúhelník ramena delší než základnu, největší čtverec je ten, který je připsaný k základně.
2) Pokud je trojúhelník rovnostranný, tak je situace jasná.
3) Pokud jsou ramena kratší než základna, zdále by se, že největší čtverce jsou ty připsané k ramenům. Ale tady je to, proč to sem celé píšu: zkracováním ramen jsou nejdřív opravdu největší čtverce připsané k ramenům, ale v okamžiku, kdy poměr základny ku výšce dosáhne nečekané hodnoty $\frac{7}{3}\cdot \cos (\frac{1}{3}\cdot \arccos \frac{{17}^2}{7^3})+\frac{1}{6}\dot{=}\mathrm{2,458}$, se obsahy čtverců připsaných k základně a k ramenům vyrovnají a dalším prodlužováním základny opět přebírá vládu čtverec nad základnou...

↑ check_drummer:
Jsem si téměř jist, že nejde, je to kořen kubické rovnice.

↑ surovec:
Já jsem se také původně do toho nechtěl plést, ale nakonec tedy také přispěji.
Moje řešení (stejné jako tvoje) využívá toho, že jsem si za parametr zvolil tangens úhlu při základně.
Na Obrázku je řešení včetně důkazu.