Matematické Fórum

↑↑ surovec:
c,d jsou vyjádřena pomocí a,b, což je chtěné. Ale co tam chybí jsou podmínky, kdy lze toto provést - aby c,d byla celá. Ale možná stačí šalamounsky říct, že to platí pokud po tomto výpočtu budou c,d celá. Tady ale můžeme namítnout jak to algoritmicky určit, že je třeba c celé....

↑ check_drummer:
Přesně, o to mi jde. Ten výraz sice můžeme dosadit do kalkulačky, ale nikdy si nemůžeme být jistí, že to opravdu JE celé číslo. Proto hledám jasnou úpravu.
↑ Honzc:

Honzc napsal(a):

Podmínkou je, že $\sqrt[3]{a^2-b}$ je celé číslo

Tahle podmínka nestačí, např. $\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}$ zjednodušit nejde.

↑↑ Honzc: Asi bych měl osvětlit, oč mi celou dobu jde. Při řešení kubické rovnice vyjde výraz typu $m\cdot (\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}+n)$ (tedy pokud má jedno řešení). Tento neprůhledný výraz má ovšem někdy triviální hodnotu (zlomek), ta závorka je tedy $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}=(c+\sqrt{d})+(c-\sqrt{d})=2c$. Teď už asi rozumíš, proč mě triviální výsledek (který jsem hned v úvodu označil za "točení v kruhu") $c=\frac{\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}}{2}$ vůbec neuspokojil, protože vede beze jakékoliv nové informace zpět k zadání.
Taková ukázka: kořen kubické rovnice vyjde $\sqrt[3]{275+\sqrt{309}}+\sqrt[3]{275-\sqrt{309}}$, je to 13, nebo není?
 
Kdybych shrnul dosavadní poznatky (hlavně zásluha laszkyho) a ještě je trochu posunul, tak:
$c$ je dělitel $a$  (může být i vlastní), který splňuje rovnost $4\cdot c^3-3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot c-a=0$.

Jinak v #24 máš jinou podmínku (resp. ty 3 podmínky), kdy lze úpravu provést. Výhoda je, že tam neoperuju s kubickou rovnicí.

↑ surovec:
Někdy (nebo spíš často) jednodušší postup neznamená jednodušší (rychlejší) algoritmus. Ale možná budou existovat rychlejší postupy než zkoušet všechny dělitele absolutního členu...
Založil jsem samostatné téma zde, zda by tu moji podmínku nebylo možné nějak zjednodušit:

↑ surovec: (reakce na #53 )
$\sqrt[3]{275+\sqrt{309}}+\sqrt[3]{275-\sqrt{309}}$ rozhodně není 13. Navíc 13/2=6.5 není přirozené číslo
Aby úloha měla řešení můžou a a b nabývat pouze určitých hodnot
Podmínky:  $n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{N}$
Když $n\equiv 0(\text{mod}\text{ 3})$
      pak    i=0
      jinak  i=1
$a=n(i+3(k+(\frac{n^2-i}{3}))$
$b=a^2+(k-n^2{)}^3$
Takže a nemůže být 5
$a=\{4,7,10,13,16,19,20,22,25,26,28,31,32,34,36,37,...\}$
Asi tě to neuspokojí, protože pak není co počítat, protože pokud dodržíš podmínky pak
c=n a d=k

↑ surovec:
Dobře tedy.
Žádné 3-tí odmocniny.
Ukážu na tvém příkladu a=3341474, b=333446676300
Nejprve prvočíselý rozklad čísla a
3341474=1x2x149x11213
Ze vztahu $a=n(i+3(k+(\frac{n^2-i}{3}))$ spočítáme $k=\frac{a-n^3}{3n}$ pro každého dělitele čísla a (k musí být přirozené), dostaneme
n=1 k není přirozené
n=2 k=556911, c=2, d=556911 ovšem kontrolou b=172733313429167319 není řešení
n=149 k=75, c=149, d=75 kontrola b=333446676300 - řešení
Pro další dělitele by už k vyšly záporné
Vše se odehrálo na obyčejné kalkulačce z Windows
(Nejtěžší je pro velká čísla udělat ten prvočíselný rozklad)

↑ mák:
Zdravím též.
Ano to by šlo (jenom místo k u mě značeno n)

↑ Honzc:
Zajímavé je že všichni používáte prvočíselný rozklad čísla a já používám dělitele b - resp. tu část čísla b, jejíž čtverec dělí b. Tedy v závislosti na velikosti a,b lze vybrat první nebo druhý postup.

↑ surovec:

Pravdepodobne to neni to, co hledas, ale napadlo me jeste toto: co takhle to $c$ spocitat podle nejakeho z drive uvedenych vztahu pro koren kubicke rovnice. Kalkulacka/pocitac vyhodi nejake desetinne cislo, zaokrouhlime ho na nejblizsi cele cislo a toto cele cislo dosadime do kubicke rovnice. Tim overime, ze se jedna/nejedna o celociselny koren.

↑ laszky:
To už jsme tady zavrhli, protože když počítáš s omezenou přsností tak může být necelé číslo k nerozeznání od celého.

↑ check_drummer:
Hm, taky dobrý...

↑ mák:
Ovšem aby byl algoritmus korektní, je potřeba pracovat s nekonečným počtem desetinných míst. :-)

↑ mák:
Napadá mě, že by se tak děl udělat test na prvočíselnost nebo možná i na hledání dělitelů - tato úloha by se neřešila tím postupem přes dělitele, ale přes ty odmocniny a když vyjde celé číslo, tak lze nepřímo naít dělitele z toho výsledného vyjádření....