Matematické Fórum

Zdravím všechny,

toto je moje zcela první téma, protože jsem zatím nikdy nepotřeboval poradit a vždy jsem případně výsledek zde dohledal, jelikož se však ve volném čase věnuji psaní neoficiální příručky ke středoškolské matematice, jsem v kapitole průběhu funkce, a narazil jsem na docela složitý příklad.

Jedná se o příklad ze sbírky Jindry Petákové - strana 159, úloha 54: Určení průběhu funkce [mathjax]h_1(x) = \frac{1}{x^2}-x[/mathjax], která má následující graf - taková kosá 1/x^2



V průběhu funkce se běžně vyšetřuje spojitost, monotónnost, extrémy, konkávnost a konvexnost. V rámci toho ale zároveň vyšetřuji základní vlastnosti funkce (než dojde k určení uvedených vlastností pomocí derivací a limit). Při určování oboru hodnot jsem ale narazil na problém.

Z grafu je zřejmé, a i na Wolfram Alpha otestované, že daná funkce nabývá všech reálných hodnot, jinými slovy [mathjax]H=\mathbb{R}[/mathjax]. Jelikož bychom měli určit obor hodnot bez toho, aniž bychom znali graf funkce po zadání do programů, pokouším se dojít k početnímu řešení.

Pokusil jsem se tedy o řešení normováním předpisu a řešením rovnice, jejíž neznámou je [mathjax]y[/mathjax]:

[mathjax]y = \frac{1}{x^2}-x, \ \ \ \ x\neq0[/mathjax]

Úpravami se dostaneme k normované rovnici:

[mathjax]x^3+yx^2-1=0[/mathjax]

Zkoušel jsem v tomto případě řešit užitím Cardanových vzorců, takže shrnu kroky, které jsem provedl.

Koeficienty kubické rovnice jsou [mathjax]A=y,B=0,C=-1,[/mathjax] dosazuji do níže uvedeného předpisu a získávám rovnici s neznámou [mathjax]t[/mathjax] po substituci:

[mathjax]t^3+(B-\frac{A^2}{3})t+(\frac{2A^3}{27}-\frac{AB}{3}+C)=0[/mathjax]

[mathjax]t^3+(0-\frac{y^2}{3})t+(\frac{2y^3}{27}-\frac{0y}{3}-1)=0[/mathjax]

[mathjax]t^3-\frac{y^2}{3}t+\frac{2y^3}{27}-1=0[/mathjax]

Nalezené koeficienty [mathjax]p,q,[/mathjax] které později vystupují i v kvadratické rovnici jsou:

[mathjax]p = -\frac{y^2}{3}[/mathjax]

[mathjax]q = -\frac{2y^3}{27} -1[/mathjax]

Diskriminant kvadratické rovnice, která vznikne při úpravě kubické rovnice je:

[mathjax]D = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{1}{4}(\frac{2y^3}{27}-1)^2+\frac{1}{27}(-\frac{y^2}{3})^3=
\frac{y^6}{729}-\frac{y^3}{27}+\frac{1}{4}-\frac{y^6}{729}=-\frac{y^3}{27}+\frac{1}{4}[/mathjax]

[mathjax]D =-\frac{y^3}{27}+\frac{1}{4}[/mathjax]

Obor hodnot původní funkce by měl odpovídat řešení kvadratické rovnice, která má řešení, tedy pro [mathjax]D \ge 0[/mathjax], takže získávám nerovnost:

[mathjax]-\frac{y^3}{27}+\frac{1}{4} \ge 0[/mathjax]

Výsledek této nerovnosti mi vychází [mathjax]y\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}}[/mathjax]

Ta hodnota je minimem v bodě, který je na grafu vidět v levé větvi, ale nekoresponduje mi to se skutečností takže... babo raď :)

Budu rád za každý impuls, je možné že jsem opomněl něco fakt základního, ale za boha to nevidím..

Díky!