Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 23. 06. 2025 10:35
Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
Rád bych Vás požádal o pomoc s řešením tohoto příkladu. Různé obecné rovnice co jsem zkoušel použít, tak nefungovaly :/ Byl jsem zvyklý počítat s kapalinami a spíše se zúžením v trubce, ale tady jsem v koncích a úplně jsem se v tom zamotal. Možná to je pro někoho brnkačka a omlouvám se, jestli to bude pod Vaší úroveň, ale moc rád bych se dovzdělal na tomto konkrétním případu.
Příklad:
Máme dvě prostředí naplněné vzduchem. V jednom prostředí je tlak 1,5 bar a v druhém 1 bar. Tyto prostředí jsou propojené trubičkou o vnitřním průměru 3 mm a je dlouhá 50 mm. Tlaky v obou prostředích jsou neměnné. Jaká je rychlost proudění vzduchu uprostřed trubičky?
Offline
#2 23. 06. 2025 14:03
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
To se obecně počítá docela blbě.
Horní hranici představuje rychlost určená Bernouliho rovnicí, tedy [mathjax]\Delta p = \frac{1}{2}\varrho v^2[/mathjax]. Ale pouze, pokud je tato ryhlost znatelně nižší než rychlost zvuku v daném plynu. Protože rychlost proudění nikdy nepřekročí rychlost zvuku, ať už je rozdíl tlaku jaký chce. A dále se předpokládá, že rychlost bude dostatečně vysoká aby se vytvořilo turbulentní proudění. Pokud je rychlost velmi nízká (případně trubička velmi úzká), tak to také neplatí.
Takže když je vše splněno, tak je rychlost v řádu
[mathjax]v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\varrho}}[/mathjax]
V našem případě je rozdíl tlaků 0.5 bar, což je 50kPa, hustota vzduchu je přibližně 1 kg/m3, takže rychlost je odmocnina ze 100 000 což je 316m/s. Což je ale téměř rychlost zvuku, takže jsme v oblasti, kde Bernouliův vztah dávno neplatí. Jisté ale je, že ta rychlost nepřekročí rychlost zvuku, jen se k ní bude blížit.
Offline
#3 23. 06. 2025 14:06
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
Pak je ale ještě otázka, jestli se má vzít v úvahu odpor vzduchu v samotné trubičce. Na to taky není žádný hezký vztah, ale možná lze nějaké zjednodušené vztahy najít. Potom by samozřejmě rychlost mohla být znatelně nižší. Čím bude trubička delší, tím bude klást vyšší odpor ... jenže odpor vzduchu při průchodu trubičkou je obecně závislý na rychlosti proudění (ta konstantna je závislá na rychlosti, přesněji tedy na tzv. Reynoldsově čísle).
Proudění tekutin je obecně problém, nelze to jednoduše počítat.
Offline
#4 23. 06. 2025 16:03
- check_drummer
- Příspěvky: 5452
- Reputace: 106
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
↑ MichalAld:
A nešlo by to nějak odvodit z Maxwellova rozložení rychlostí?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 23. 06. 2025 17:58
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
check_drummer napsal(a):
↑ MichalAld:
A nešlo by to nějak odvodit z Maxwellova rozložení rychlostí?
No, s tím je problém. Maxwellovo rozložení lze odvodit za stavu termodynamické rovnováhy. Už jsme to tu jednou řešili, z čeho se to vlastně odvozuje, a já už si ani moc nepamatuji, jak to skončilo (protože tomuhle moc nerozumím), ale vychází to z Boltzmanova principu, a ten právě platí v rovnovážném stavu. Což proudění vzduchu tak úplně není. Ani to není stav blízký rovnováze. Já myslím, že na tohleto se to použít nedá.
Pro nestlačitelné tekutiny se dá použít Navier-Stokesova rovnice, pro plyny nevím. Jenže i tak je s tím problém, protože to turbulentní proudění, co v kapalinách při běžných rychlostech vzniká, se počítá blbě - víry mají v podstatě nekonečně složitou strukturu. Ono se to dneska nějak modelovat umí, asi, ale já o tom nic nevím.
Vlastně nevím ani to, jestli z představy ideálního plynu (jehož molekuly na sebe nepůsobí žádnými přitažlivými silami) vůbec plyne, že má takový plyn nenulovou viskozitu. Pokud by ji neměl, tak by mělo jeho proudění potenciální charakter (to se někdy používá pro přibližné výpočty v aerodynamice - protože potom se to počítá stejně jako třeba elektrický potenciál - prostě Laplaceova rovnice). Ale skutečné plyny viskozitu mají, a já nevím, odkud pochází.
Já to beru tak, že proudění tekutin je v podstatě z matematického pohledu téměř neřešitelný problém. Rovnice máme, ale stejně nám moc k užitku nejsou.
S Navier-Stokesovou rovnicí je spojený i nějaký teoretický problém ohledně existence jejího řešení (je to jeden z těch 7 problémů moderní matematiky). Ale nevím, nakolik je to podstatné pro nějaké praktické používání rovnice.
Offline
#6 24. 06. 2025 00:17 — Editoval Enno (24. 06. 2025 00:38)
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
↑ MichalAld:
Odpor pro tuto krátkou trubičku “můžeme” zatím zanedbat. Vypočítaná rychlost 316 m/s by mohla přibližně sedět, jelikož průtok při průměru 3 mm by byl přibližně 0,0022 m^3/s (2,2 l/s), což by mohla být alespoň horní hranice průtoku..
Offline
#7 24. 06. 2025 08:24
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
Jisté je, že vyšší ta rychlost nebude.
Stejně jisté je, že nebude vyšší než je rychlost zvuku.
Obecně ty rychlosti bývají nižší.
Všechno záleží na tom, jak to potřebuješ vědět přesně.
Offline
#8 24. 06. 2025 09:23
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
Tenhle hrubý odhad mi zatím stačí, ale to neznamená, že by mě nezajímal ten složitější/přesnější výpočet. Až budu mít víc času, tak o tom zkusím víc nastudovat a dám kdyžtak vědět, co jsem zjistil :)
Offline
#9 24. 06. 2025 10:42
- check_drummer
- Příspěvky: 5452
- Reputace: 106
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
↑ MichalAld:
To nemůže být v principu nikdy rychlost proudění vzduchu vyšší než rychlost zvuku?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#10 24. 06. 2025 14:35 — Editoval MichalAld (24. 06. 2025 14:41)
Re: Rychlost vzduchu mezi dvěma prostředími s různými tlaky
check_drummer napsal(a):
↑ MichalAld:
To nemůže být v principu nikdy rychlost proudění vzduchu vyšší než rychlost zvuku?
Pokud uvažujeme rychlost v tom nejužším místě, tak né.
Já přesně nevím proč. A z čeho se to odvozuje.
Takové lidské zdůvodnění je, že když na té výstupní straně bude nějaký tlak, který se skokem sníží, tak aby se rychlost průtoku zvýšila, musí se ta informace (o snížení tlaku) dostat až do toho nejužšího místa (hrdla). Jenže žádná takováto změna tlaku se nemůže pohybovat rychleji než zvuk, a když ten plyn vytéká rychlostí zvuku, tak se to v tom hrdle nikdy nedozví, že je venku nižší tlak.
Říká se tomu kritické proudění, a i se to k něčemu využívá (v náporových proudových motorech, třeba).
Když se trubice za hrdlem rozšiřuje, tak tam rychlost může překročit rychlost zvuku. Takovému uspořádání se říká de Lavalova dýza. Na wiki je o tom pěkný článek, ale jen anglicky, česká stránka stojí za prd. Skoro mám chuť to přeložit. Ale v tom hrdle rychlost zvuku nikdy nepřekročí.
de Laval nozzle
Offline