Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Ahoj. Myslim, ze to nejde. Musel bys znat uplne cely desetiinny rozvoj cisla [mathjax] z[/mathjax], ty ale v realu budes stejne pocitat jen s konecnym. Kdyz napr. budes znat prvnich 99 desetinnych mist, pak pro tebe budou cisla [mathjax] z_1=1+ 1\cdot\sqrt{d}[/mathjax] a [mathjax]z_2=\frac{1+10^{100}}{10^{100}}+1\cdot\sqrt{d} [/mathjax] nerozlisitelna.

↑ laszky:
Nejde mi o to sestrojit algoritmus (ten opravdu neexistuje - také myslím), ale o nějaký postup, který má těch nekonečně mnoho číslic "najednou" k dispozici.... A je povoleno používat postupy, které by běžný algorimus nemohl použít. Např. "každou druhou číslici zvětš o 1", apod.

A nebo pomocí nějakých ("standardních") matematických operaci "extrahovat" ta čísla x,y - např. vynásob číslo z hodnotou [mathjax]\sqrt{d}[/mathjax], atd...

↑ MichalAld:
No jak jsem psal - pro pevné d je číslo z tvaru [mathjax]x+y \cdot \sqrt{d} [/mathjax], číslo d znáš, čísla x ,y ne.

↑ check_drummer:Ahoj. Pre väčšinu reálnych čísel také x,y racionálne vôbec neexistujú lebo ak [mathjax]z=x+y\sqrt{d}[/mathjax], tak [mathjax]z^2=x^2+dy^2+2xy\sqrt{d}=2xz+dy^2-x^2[/mathjax]
A teda z musí byť najviac stupňa 2 teda pre každé algebraické číslo stupňa 3 a viac a transcendentné číslo také x,y nie sú

Triviální postup pro zjištění x,y: očíslujme racionální čísla a procházejme je jedno po druhém dokud nenajdeme ta správná. Samozřejmě je nutné provádět jisté aproximace při výpočtu, ale možná by bylo možné nějak odhadnout, že jsme ta čísla našli - např. na základě délky periody čísel x,y. Ale i tak to není moc hezké řešení, zejména může být časově dost náročné....

Právě je blbé, že diofantické rovnice (ona to v podstatě je diofantická rovnice, né?) nelze řešit nějak přibližně.

Ak by bolo [mathjax]z[/mathjax] zadané koeficientami jeho minimálneho polynómu tak by sa [mathjax]x,y,d[/mathjax] dali vyčítať zo vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Na prvočíselný rozklad taky neexistuje žádný vzorec, a to mi přijde jednodušší věc než tvůj příklad, protože tam je jen konečný počet možností.

No jo, ale co je ti to platné, když i když máš zadané číslo z a znáš i správné řešení, tedy ta čísla x,y, stejně nejsi schopný dokázat, že to řešení je správné...

↑ MichalAld:
Ano, ale tak ta úloha nestojí, úloho stojí tak, že máš dané číslo z a nějakou operací chceš získat čísla x,y. Je potřeba si říct jaké operace jsou povoleny, ale pro jednoduchost to formulujme tak, že všechny běžné....
Takže třeba kdybys věděl, že x=0, tak můžeš říct že y=z/[mathjax]\sqrt{d}[/mathjax].

Kdybys postupoval tak jak říkáš, tak bys nikdy nemohl pracovat  reálnými čísly....

No jo, jenže u reálných čísel připouštíme ta přibližná řešení.
Když chceme určit kolik je ta odmocnina ze dvou, nepotřebujeme na to celý ten nekonečný desetinný rozvoj. Stačí nám pár číslic. A naše číslo, když vynásobíme sebou samým, nedá to přesně dvě. Jen skoro. Ale to nám nevadí. U reálných čísel to nevadí.

Ale u celých čísel to vadí, tam tenhle postup použít nemůžeme.
Pokud bychom chtěli tu tvoji rovnici řešit jen přibližně, není s tím vůbec problém ... až na to, že takových řešení existuje nekonečné množství. Když si řekneš, že ti stačí, když bude tvá rovnice splněna na 10 platných číslic, najdeš nekonečné množství dvojic x,y, kterými to lze zajistit.Když si řekneš, že chceš 100 platných číslic, zase máš nekonečné množství variant. Nijak ses moc nepřiblížil cíli. Ať už si zvolíš počet platných číslic jaký chceš, pořád bude mít tvá rovnice nekonečné množství řešení - a ty se nijak nepřibližuješ tomu správnému.

↑ laszky:
Ano, nejdřív mě to taky naopadlo, ale řekl jsem si že budeme více ambiciozní. :-) Ale proč ne, lze začít s případem x,y ze Z. Možná by to šlo v tomto případě vyřešit i algoritmicky - tj. mám desetinné číslo a chci najít celá x,y. Když budu zkoušet všechny x,y, tak je otázka zda se můžu s dvěma x1,y1 dostat libovolné blízko k z a přesto to nebude řešení....
A kdyby to nešlo algoritmicky tak alesoň nějaký vzorec...