Matematické Fórum

↑ kastanek:

Ahoj,

ano.

Eukleidovsky lze sestrojit každou úsečku, jejíž délka je dána (kladným) výrazem, který se skládá z konečného počtu sčítání, odčítání, násobení, dělení a druhých odmocnin racionálních čísel.

surovec napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Jak zkonstruuji úsečku, kde [mathjax]a=0,\space b=2[/mathjax]?

[mathjax]a=0,\space b=2 \Rightarrow \sqrt {a+\sqrt b}=\sqrt{\sqrt 2}[/mathjax]

↑ surovec:
Stačí umět sestrojit všechny ty operace. Největší problém může dělat odmocnina, ale i ta je celkem snadná.

↑ Eratosthenes:
Popřemýšlej.
A jak bys to konstruoval ty?

↑ Eratosthenes:
Věty o výšce jsou jasné, ale použití Pytharrovy věty tam nevidím, max na nějaké speciální případy....

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Věty o výšce jsou jasné, ale použití Pytharrovy věty tam nevidím, max na nějaké speciální případy....

Vidět nemusíš, stačí vědět. Vědět, že Euklidovy věty jsou ekvivalentní větě Pythagorově. Takže na všechno, co lze sestrojit Euklidem, stačí Pythagoras.

A naopak.

↑ Eratosthenes:

PS: Jak jsem už psal - není to přesněji, ani "Přesněji... Přesněji". Dodávám, že je to hrubě nepřesně, až špatně...

↑ Eratosthenes:
Ano, on to v zadání má, ale ty ne - totiž to, že je potřeba mít zadanou úsečku jednotlové délky.
Těžko sestrojíš úsečku jejíž délka je rovná odmocnině délky zadané úsečky, když nemáš dánu úsečku jednotkové délky,
Např. u součtu se bez jednotkové úsečky obejdeš, ale u odmocniny ne.


Opět jsi nepochopil, že to, čeho se hlavně ta moje poznámka týká, je zobecnění - já mluvím o obecných délkách (že jsou dány úsečky libovolných délek), kastanek jen o celočíselných.

↑ check_drummer:

Takže po postupně:

>> on to v zadání má, ale ty ne - totiž to, že je potřeba mít zadanou úsečku jednotlové délky.

O tom, co jsou to euklidovské konstrukce a co s nimi můžeš a nemůžeš, jsem psal už dvakrát. Poprvé tobě už před třemí týdny tady ↑↑ Eratosthenes:, včetně jednotkové úsečky, podruhé tady ↑↑ jarrro: včetně toho, jak má vypadat zadání euklidovské úlohy.

Ale ty jako kolovrátek meleš pořád totéž. Takže to buď nechápeš nebo nechceš chápat, anebo to vůbec nečteš. Ale kvůli tomu nebudu sem totéž psát potřetí. To si raději vezmu ten hrách a najdu si vhodnou zeď. Bude to užitečnější.

>> když řekneš že je něco špatně a neřekneš proč, tak to je jako bys neřekl nic.

Říká se - chytrému napověz. Tebe je zjevně třeba kopnout. OK - špatně je toto:

>> Takže ta a,b co píše kastanek nmusí být přirozená čísla, mohou to být libovolná kladná reálná čísla

>> Opět jsi nepochopil, že to, čeho se hlavně ta moje poznámka týká, je zobecnění - já mluvím o obecných délkách (že jsou dány úsečky libovolných délek)

Nelze. N e l z e.   N E L Z E !!!!!!!!!!!!!

Přece jen potřetí:

I  Z A D Á N Í   M U S Í  B Ý T   E U K L I D O V S K Y  K O N S T R U O V A T E L N É.   

Úsečky délky jedna a délky [mathjax]\pi [/mathjax] sice euklidovsky sečteš, ale není to euklidovská úloha, protože už při sestrojování zadání byla použita neeuklidovská konstrukce. Pokud si myslíš, že to nevadí, věz, že nejednoduššími euklidovskými úlohami by byly kvadratura kruhu, duplikace krychle a rektifikace kružnice. Stačí zadat úsečky délky [mathjax]\pi [/mathjax] a [mathjax]\sqrt[3]{2}[/mathjax]. Pak to vyřeší žák ZŠ a možná, že i ty. Zkus to pak přihlásit do nějakého časopisu, uvidíš, co  ti řeknou.   


>> Jinak když se řekne že něco estrojiš pomocí Pythagorovy věty, tak se tím nemyslí, že to sestrojíš pomocí Eukleidových vět (přestože ty jsou ekvivaletní Pythagorově větě), ale že opravdu využij vztahu o součtu čtverců,

Nerozumím řeči tvého kmene.

Podruhé: ekvivalence Euklidových a Pythagorovy věty znamená, že všechno, co sestrojíš Euklidovými větami sestrojíš i Pythagorem a naopak. Takže v euklidovské geometrii můžeš povolit jen Euklidovy věty a zakázat větu Pythagorovu a všechno bude dál dokazatelné a sestrojitelné i s tímto zákazem. Bez Pythagora, jen s Euklidem. Anebo naopak: Povolíš Pythagora a zakážeš Euklida. A všechno bude dokazatelné a sestrojitelné jako před zákazem. Bez Euklida, jen s Pythagorem.

To že u délky [mathjax]\sqrt{\sqrt{2}}[/mathjax] Pythagora nevidíš, není chyba Pythagora, ale tvoje.

Eratosthenes napsal(a):

I  Z A D Á N Í   M U S Í  B Ý T   E U K L I D O V S K Y  K O N S T R U O V A T E L N É.

Tak to je bohužel tvůj těžký omyl.

Někdo mi zadá tři úsečky (a je úplně jedno jak) a mám sestrojit trojúhelník, jehož strany mají délky těch úseček. To je Eukleidovsky konstruovatelná úloha. Řekl bych že jedna z prvních na Eukleidovské konstrukce.

Někdo mi zadá dvě rovnoběžky a mám sestrojit množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od obou těchto rovnobvěžek. To je Eukleidovsky konstruovatelná úloha. A je úplně jedno jestli vzdálenost těch rovnoběžek je 1, [mathjax]\pi [/mathjax], [mathjax]\sqrt[3]{2}[/mathjax] a nebo nějaká délka, kterou ani neumím přesně změřit (protože většinu reálných čísel neumíme přesně vyjádřit), ale jsou to prostě dvě náhodně zvolené rovnoběžky.

Opravdu se při každé konstrukci ptáš jestli zadané prvky lze Eukleidovsky sestrojit? Ať už jsou to délky zadaných úseček, poloměry zadaných kružnic nebo zadané úhly?

Ale je vidět že neznáš ani základní úlohy:
Kvadatura kruhu spočívá v tom, že máš zadaný (libovolný kruh - opakuji "libovolný") a tvým úkolem je Eukleidovsky sestrojit čtverec o stejném obsahu jako má ten kruh.

Zdvojení krychle spočívá v tom, že máš zadanou libovolnou (opakuji libovolnou) krychli (resp. její stranu) a máš k ní Eukleidovsky sestrojit krychli (resp. její stranu) o dvojnásobném objemu jako ta krychle původní.

(Samozřejmě že je lze evivaletně formulovat tak, že máš jen úsečku jednotkové délky a chceš sestrojit úsečky délek [mathjax]\pi [/mathjax], [mathjax]\sqrt[3]{2}[/mathjax].)

Takže žádné že zadání musí být Eukleidovsky konstruovatelné, to bychom se ochudili o mnoho úloh.

↑ Eratosthenes:
Nechápu jak to myslíš změnit měřítko - s jakým koeficientem zvětšení?
Jenom upozorňuju na to, že odmocninu lze sestrojit i pro nekonstruvatelnou délku d (máš-li dánu i úsečku jednotkové délky), ale to souvisí s tvým omylem, že vše co je zadané, musí být konstruovatelné.

↑ check_drummer:

Bum.

A na stěně v oblaku prachu
přistála další hrst hrachu...

Tak to už je opravdu zu moc. Jak už jsem jednou kdesi psal - na takovéto debaty je můj čas příliš drahý.