Matematické Fórum

Ahoj,
riešim príklad kde hľadám bodové spektrum operátoru [mathjax]T:L^1([0,1]) \to L^1([0,1])[/mathjax] kde [mathjax]T(f)(t) = f(\frac{t}{2})[/mathjax] a [mathjax]t \in [0,1][/mathjax]. Moja myšlienka bol nasledujúci postup: rozdeliť interval [mathjax][0,1][/mathjax] na podintervaly [mathjax]((\frac{1}{2})^{n+1},(\frac{1}{2})^{n}][/mathjax], potom aby funkcia [mathjax]f[/mathjax] vyhovovala rovnosti [mathjax]f(\frac{t}{2}) = \lambda f(t)[/mathjax] musi platit, že na intervale [mathjax][\frac{1}{2},1][/mathjax] ju možeme zvoliť ako ľubovolnu funkciu z [mathjax]L^1([\frac{1}{2},1])[/mathjax] a v každom ďalsom intervale [mathjax]((\frac{1}{2})^{n+1},(\frac{1}{2})^{n}][/mathjax] plati, že sa rovná [mathjax]\lambda^n f(t)[/mathjax]. Potom [mathjax]L^1[/mathjax] norma tejto funkcie bude [mathjax]\sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^n \int_{\frac{1}{2}}^{1}|f(t)|dt[/mathjax] kde [mathjax]\int_{\frac{1}{2}}^{1}|f(t)|dt[/mathjax] bude nejaká konštanta [mathjax]K < \infty[/mathjax] a teda celý problem môžme previesť na riešenie konvergencie geometrickej rady [mathjax]K\cdot \sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^n[/mathjax]. Je tento postup správny. Ak nie tak ma prosít opravte.

Ďakujem za všetky odpovede