Matematické Fórum

8  = 4 + 4 ,     
9 = 5 + 4 ,
10 = 5 + 5, 
12 = 4 + 4 + 4. 

Předpokládejme, že pro př. č.  n > 11  je 

(1)          n = 4*a  +  5*b  ,

kde a, b jsou celá nezáporná čísla. Nalezneme-li celá nezáporná čísla c, d  taková, aby   n + 1 = 4*c  +  5*d ,
pak podle principu indukce bude tvrzení dokázáno. Dle (1) je   

(2)                 n + 1 = 4*a  +  5*b + 1  .

Rozlišíme dva případy:

A.  a  > 0 :
Potom  n + 1 = 4*(a - 1)  + 4 +  5*b + 1 = 4*(a - 1)  +  5*b + 5  = 4*(a - 1)  +  5*(b + 1) , takže  c = a - 1 , d = b + 1 .

B.  a  = 0 :
Potom b >=3   (neboť předpokládáme, že  n > 11, což by pro  a = 0,  b < 3 nemohlo být splněno)   a tedy
n + 1 = 5*b + 1 =   5*(b - 3) + 15 + 1 = 5*(b - 3) +  4*4 ,   takže  c = 4 , d = b - 3 .

↑ jarrro:
Ahoj, svůj příspěvek jsem začal psát ve chvíli, kdy ten Tvůj tam ještě nebyl, tedy nezávisle na Tobě, a už jem ho tam pak nechal, protože mi dal
docela práci a bylo mi líto ho mazat - později jsem v něm ještě opravil některé překlepy. Z mé strany tedy rozhodně nešlo o reakci na důkaz Tvůj,
který je velmi vtipný, zatímco ten můj pracuje pouze standardním způsobem. Tazateli, myslím, nebude na škodu, seznámí-li se s oběma cestami.

OK díky ... teď už tomu rozumím. Mám tu další příklad ...


Je známo, že součet prvních n přirozených lichých čísel je n2. Abychom tvrzení dokázali, stačí ukázat, že 1 + 3 + · · · + (2n + 1) = n^2. Ale již pro 
n = 1 vztah nefunguje, neboť člen 2n + 1 na levé straně nabývá hodnoty 3, a tedy pro n = 1 je levá strana 1 + 3 = 4 a pravá n^2 = 1^2 = 1. Nalezněte chybu v úvaze a opravte ji.

Chtěl bych Vám poděkovat za rady, které mi pomohly a mám tu poslední důkaz se kterým si nevím rady, tak jestli někdo bude vědět, tak díky.


  pro n >= 0

Ja jsem se díval, ale asi jsem přehlídl, díky!!!